КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Непрерывное наращение и дисконтирование
Все рассмотренные ранее начисляемые проценты называются дискретными, поскольку их начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени (год, квартал, месяц, день, даже час). Уменьшая этот промежуток (период начисления) и увеличивая частоту начисления процентов, в пределе можно перейти к так называемым непрерывным процентам. Уже отмечалось, что в зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма при использовании процентной ставки увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала. Из формулы при следует: (5.17) так как согласно второму замечательному пределу , где трансцендентное число называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа. Чтобы отличить непрерывную ставку от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение непрерывной ставки - и называют ее силой роста (force of interest). Таким образом, формула (5.17) для нахождения наращенной суммы за лет при непрерывном начислении процентов принимает вид: (5.18)
где является множителем наращения, причем этой формулой пользуются и в тех случаях, когда не является целым числом.
Очевидно, что Fl, F2,..., Fn , определяемые по формуле (5.18), образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Аналогично другим множителям наращения е равен индексу роста суммы Р за лет. Пример: Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начисления процентов за один год, если исходная сумма Р = 1000 тенге и номинальная годовая процентная ставка . Результаты, полученные для некоторых вариантов, приведем в виде таблицы, причем в предпоследнем столбце вычислены разности между наращениями с данным числом начисления процентов и базовым, а в последнем столбце указаны разности между наращенными суммами двух соседних строчек.
Как и следовало ожидать, приведенные расчеты подтверждают наличие прямой зависимости между частотой начисления процентов и накопленной суммой; последний столбец таблицы показывает, что с увеличением частоты начисления темп прироста накопленной суммы уменьшается. При дискретном наращении каждая "ступенька" характеризует прирост основной суммы в результате очередного начисления, причем величина "ступеньки" все время возрастает. В рамках одного года одной "ступеньке" на левом графике соответствуют две "ступеньки" на среднем графике меньшего размера, однако в сумме они превышают эту "ступеньку" однократного начисления. Таким образом, ордината точки, соответствующей концу трехлетнего периода, на среднем графике будет выше, чем на левом. Еще более быстрым темпом идет наращение при непрерывном начислении, что и показывает график справа. Сила роста S характеризует интенсивность наращения за год при непрерывном начислении процентов. Можно сказать, что S показывает скорость относительного роста накапливаемой суммы. Поясним это. Пусть в течение времени на сумму Р начисляются непрерывные проценты по ставке S. Тогда за время первоначальная сумма увеличится на относительную величину и, следовательно, в единицу времени относительный прирост равен , что является средней скоростью относительного роста накапливаемой суммы за время . Ну а поскольку при справедливо , то .
Приравнивая накопленные суммы, получим связь между силой роста и годовой процентной ставкой . Из следует, что , или (5.19) Аналогичным образом, приравнивая накопленные суммы, получим связь между силой роста и годовой учетной ставкой: , или (5.20) Для малых справедливо ; с точностью до членов третьего порядка малости, пренебрегая которыми и используя (5.19), (5.20), получим для , и , не превышающих 20%: и и А при ставках до 10% сила роста и годовая ставка совпадают с точностью до 0,01, т.е. можно в этих пределах использовать приближенные равенства и . Пример: На сумму в 2 тыс. тенге начисляются непрерывные проценты по ставке . Определить наращенную сумму через 5 лет. По формуле (5.18), полагая , сразу получим тыс. тенге. Если в данном случае применить формулу (3.1), т.е. осуществлять начисление обычных сложных процентов по ставке , то получим сумму, не сильно отличающуюся от вычисленной: тыс. тенге. Если наращение сложными процентами осуществляется по номинальной годовой учетной ставке , то при следует:
Полученная формула при совпадает с (5.17), т.е. исчезает различие между антисипативным и декурсивным способами начисления процентов, если использовать непрерывное начисление и капитализацию. Это и естественно, так как в такой ситуации начало и конец периода перестают отличаться. Из формулы (5.17) можно определить современную стоимость величины : (5.21) Аналогичное равенство, естественно, получается и из формулы для определения стоимости капитала, учтенного за лет при -кратном дисконтировании в течение года при . В этом случае S называется силой учета (force of discount) и показывает скорость относительного уменьшения учитываемой (при непрерывном дисконтировании) суммы. Таким образом, сила роста равна силе учета.
Пример: Какую сумму необходимо поместить на банковский депозит, чтобы через 3 года получить 5 тыс. тенге, если происходит непрерывное начисление процентов по ставке ? Используем формулу (5.21): тыс. тенге. Из равенства (5.18) или равносильного ему (5.21) можно определить срок или силу роста соответственно по формулам:
и (5.22)
Пример: За какой срок сумма в 400 тыс. руб. достигнет величины 1 млн. тенге при непрерывном начислении процентов и силе роста 10%? Полагая ; ; получим года, т.е. срок равен 9 годам и двум месяцам (точнее, 59,46 дням, если в году 365 дней). Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач (например, при обосновании и выборе инвестиционных решений). Оценивая работу финансового учреждения за период, в котором платежи поступают многократно, бывает целесообразно предполагать, что накапливаемые суммы непрерывно меняются во времени, и применять непрерывное начисление процентов. Бывают ситуации, когда непрерывное начисление процентов применяется и непосредственно при работе с клиентами. Так, в начале 1975г. в США ставка процентных выплат по займам и депозитам сроком от шести до десяти лет была ограничена величиной 7,75% годовых, однако не лимитировалось число начислений процентов в течение года, чем и воспользовались компании в целях привлечения вкладчиков. Причем одна из компаний предлагала непрерывное начисление процентов при годовой ставке 7,75%, которая в этих условиях стала непрерывной и представляла собой силу роста. Обозначая , получим , т.е. компания, по существу, установила процентную годовую ставку . Предположим теперь, что сила роста меняется и в следующих друг за другом периодах, длительностями (измеряемыми в годах) сила роста равна соответственно По формуле (5.18) для наращенной суммы за период получим ;
далее наращение суммы непрерывными процентами за период составит величину Окончательно за период наращенная сумма составит (5.23) Обозначая , получим . Таким образом, если за силу роста принять взвешенную сумму сил роста , то наращенную сумму в этом случае можно находить не по формуле (5.23), а по формуле (5.18). Обратим внимание, что похожая ситуация была и в аналогичном случае для простых процентов.
Пример: На вклад в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Найти наращенную сумму за 7 лет, если сила роста изменяется следующим образом: в первые два года равна 8%, в следующие три года - 10% и в каждый оставшийся год увеличивается на 0,5%.
Так как , то по формуле (5.23): тыс. тенге. Такую же наращенную сумму получим, если непрерывные проценты начисляются за лет при силе роста или .
В общем виде силу роста, изменяющуюся во времени, можно обозначить как (время, как это принято часто в высшей математике, будем обозначать через , а не через ). Через обозначим накопленную сумму в момент , а представляет собой первоначальный капитал, например, положенный на депозит при . Можно показать, что в случае интегрируемости справедливо равенство , из которого следует, что современная стоимость определяется по формуле . Задавая конкретный вид , можно получить формулы для определения наращенных сумм в момент времени t при использовании различных ставок. Например, полагая , получим формулу наращения сложными процентами по процентной ставке . Подобным образом можно получить все известные формулы. Рассмотрим некоторые другие варианты. 1. Сила роста является кусочно-постоянной функцией: Найдем вид при различных значениях t. Пусть , тогда Пусть , тогда Рассматривая аналогичным образом остальные промежутки времени, для последнего из них , получим:
В частности, если , то, обозначая …, получим формулу (5.18), т.е. если сила роста кусочно-постоянна, то в любой момент времени наращенная сумма, по существу, определяется по (5.18).
Пример: Найти величину множителя наращения за 4 года, если сила роста изменяется непрерывным образом с годовым приростом в 1% и начальное значение силы роста составляет 9%. В данном случае и за год ставка увеличивается в а = 1,01 раза. Поскольку , и то множитель наращения равен величине .
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 4643; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |