КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса
Определение. Дана последовательность { xn } и последовательность натуральных чисел { nk }, 1£ n 1 <n 2 <…<nk<nk+ 1 <…, тогда числовая последовательность { yk }, называется подпоследовательностью последовательсти { xn }. Пример: xn= sin n, nk= 2 k, = sin 2 k. Замечание. Отметим, что из условия nk < nk+ 1 следует, что k nk (доказывается индукцией по k). Теорема 1. Если(a - число или символ ), то для любой ее подпоследовательности { yk } ,,будет выполнено:. Доказательство: Вне любой окрестности a содержится лишь конечное число членов { xn }, следовательно, и конечное число подпоследовательности { }, ч.т.д. Теорема 2. (Больцано, Вейерштрасс) Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Доказательство. Пусть последавательность лежит на [ a,b ]É { xn }. Разделим отрезок [ a,b ] пополам, обозначим [ a 1 ,b 1] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности { xn }. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [ a 1 ,b 1], его индекс обозначим n 1. Разделим отрезок [ a 1 ,b 1] пополам, обозначим через [ a 2 ,b 2] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности { xn }. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [ a 2 ,b 2] и имеющий индекс больший, чем n 1, его индекс обозначим n 2. Продолжая этот процесс, мы построим подпоследовательность. Система отрезков [ ak,bk ] представляет собой систему вложенных, стягивающихся к нулю отрезков (bk-ak= (b-a)/2 k). Общую точку обозначим c. Так как cÎ [ ak,bk ], то. Откуда следует, что (Следствие 2 из Теоремы 4 §2). Определение. Предел подпоследовательности называется частичным пределом (в том числе). Просто договоримся частичным пределом не считать.
Замечание 1. Частичных пределов у последовательности может быть много. Пример: Последовательность всех рациональных чисел {rn} имеет своим частичным пределом любое вещественное число. Замечание 2. Для того, чтобы a (число или символ) было частичным пределом последовательности {xn} необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность a содержала бесконечно много членов последовательности {xn}. Следствие. Если некоторая окрестность aсодержит конечное число членов последовательности, то aне является частичным пределом. Замечание 3. У любой последовательности существует хотя бы один частичный предел (конечный или бесконечный). Доказательство: Рассмотреть два случая: Ограниченная последовательность. В этом случае утверждение теоремы является следствием теоремы Больцано-Вейерштрасса. В случае неограниченной последовательности для выделения подпоследовательности имеющей пределом ¥ используется определение предела последовательности, имеющей несобственный предел. Например, пусть, тогда. Условие nk> nk- 1 можно обеспечить, используя то, что в любой окрестности +¥ имеется бесконечно много членов последовательности.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1153; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |