Евклидово пространство

Определение 7. Скалярным произведением двух векторов и пространства называется число, определяемое по формуле:

. (5)

Скалярное произведение имеет экономический смысл. Если есть вектор объемов различных товаров, вектор их цен, то скалярное произведение выражает суммарную стоимость этих товаров.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) - коммутативность;

2) - дистрибутивность;

3) , где - любое действительное число;

4) , если ; , если .

Определение 8. Векторное пространство, в котором определена операция - скалярное произведение векторов, удовлетворяющая четырем вышеперечисленным свойствам, называемых аксиомами, называется евклидовым пространством.

Определение 9. Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

,

где - координаты вектора .

Угол между двумя векторами и определяется по формуле:

,

где .

Определение 10. Два вектора и из называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю , т.е.

.

Определение 11. Нормированием вектора называется отношение: . В результате получается вектор, длина которого равна 1, а направление его совпадает с направлением вектора .

Определение 12. Ортонормированным базисом пространства называется система векторов , которые попарно ортогональны, т.е. , а длина каждого равна единице, т.е. , .

Теорема 2. Во всяком - мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Дата добавления: 2014-01-05