Л 2. Линейная модель планирования и смежные вопросы

На предприятиях, выпускающих неоднородную продукцию, руководство стремится определить, каковы должны быть уровни производства для каждого продукта в течение всего планируемого периода. Эти уровни связаны с технологическими, сбытовыми, политическими и другими обстоятельствами, которые иногда могут быть заданы в виде линейных ограничений. Похожая проблема возникает и в случае производства одного продукта на нескольких предприятиях, которые пользуются рядом сбытовых баз. В рамках подобных ограничений естественно стремиться составить план производства и продвижения товаров, максимизируя некоторую функцию цели, например, прибыль.

В этом разделе функция цели будет предполагаться линейной, зависящей от управляемых переменных из области допустимых значений D, представляющей многогранную область пространства . При этом линейная модель строится при следующих допущениях.

А. Делимость. Для каждого производства или распределительного процесса суммарное количество потребляемого ресурса и соответствующая прибыль пропорциональны объемам выпускаемой или распределяемой продукции. Другими словами, все показатели процесса могут быть увеличены или уменьшены при сохранении их взаимной пропорциональности.

В. Аддитивность. Затраты ресурсов, используемых для производства или распределения различных продуктов, равняются сумме затрат и прибыль от каждого произведенного продукта входит в полную прибыль в виде слагаемого.

Заметим, что указанные допущения не всегда выполняются, поэтому линейные модели используются либо в подходящих условиях, либо в виде первого, возможно, грубого, приближения.

Пример. Предприятие выпускают изделия А и В, которые в процессе производства должны пройти обработку на станках I, II, III. Время обработки каждого изделия на каждом из станков задается таблицей.

	I	II	III
А
В	0,5

Станки имеют соответствующие ресурсы времени работы 45,100, 200 час. в планируемый промежуток времени. Продажная цена изделия А- 600 р., В- 400 р.

Найдем оптимальную программу выпуска, максимизирующую произведенную стоимость. Для этого обозначим и - количество изделий А и В, которые могут быть выпущены за планируемый период. Тогда оптимальная программа выпуска представляет решение оптимизационной задачи

(1)

(2)

(3)

Поставленная задача допускает геометрическое решение, т.к. область допустимых значений D планов управлений представляет собой пересечение полуплоскостей. Изобразим ее на рисунке

на котором, цифрами помечены части границ первых трех полуплоскостей. Область D представляет собой четырехугольник с крайними точками (0,0), (0,50), (22,50), (20,10). Вычисляя значения функции цели в каждой из этих точек, получаем решение оптимизации задачи: оптимальная программа выпуска -

В общем случае, если предприятие имеет m ресурсов и производит n продуктов, то для расчета оптимальной программы выпуска продукции в соответствующих условиях необходимо иметь:

▲ матрицу, где количество ресурса, расходуемого на производство продукта;

выпущены за планируемый период. Тогда оптимальная программа выпуска представляет решение оптимизационной задачи

(1)

(2)

(3)

Поставленная задача допускает геометрическое решение, т.к. область допустимых значений D планов управлений представляет собой пересечение полуплоскостей. Изобразим ее на рисунке

на котором, цифрами помечены части границ первых трех полуплоскостей. Область D представляет собой четырехугольник с крайними точками (0,0), (0,50), (22,50), (20,10). Вычисляя значения функции цели в каждой из этих точек, получаем решение оптимизации задачи: оптимальная программа выпуска -

В общем случае, если предприятие имеет m ресурсов и производит n продуктов, то для расчета оптимальной программы выпуска продукции в соответствующих условиях необходимо иметь:

▲ матрицу, где количество ресурса, расходуемого на производство продукта;

▲ вектор ), где количестворесурса, имеющегося или доступного предприятию,

▲ вектор, где удельная прибыль от реализации единицы продукта,

Если эти данные доступны и правильно отражают реальность, можно строить оптимальную программу выпуска, введя допустимый план выпуска представляющего управляемую переменную из области допустимых значений D. Оптимальный план является решением задачи линейного программирования

Техническое решение этой задачи имеет быть получено симплекс-методом, о котором упоминалось выше.

Двойственная задача.

Совершенно неожиданным является то обстоятельство, что задача линейного программирования, описанная выше, имеет непосредственное отношение к вопросу о ценообразовании выпускаемых продуктов. Итак, предположим, что к Владельцу предприятия, выпускающего продукты, приходит Покупатель с предложением купить у него часть или все ресурсы, необходимые для выпуска продукции. Возникает торг вокруг цен ресурсов или лучше сказать стоимости ресурсов.

Как водится, Покупатель сразу обозначает свою цель - заплатить поменьше.

,

где - вектор стоимости единиц соответствующих ресурсов. Область

порождается вектором существующих цен на продукты, производимые с использованием ресурсов.

Новая оптимизационная задача носит название двойственной задачи к первоначальной. Ее решение непосредственно связано с решением основной задачи, что следует из следующей важной теоремы.

Теорема. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то другая так же имеет оптимальное решение и значение целевых функций и , в точках оптимума совпадают.

Решение двойственной задачи может быть проведено с использованием симплекс-метода. Оно позволяет понять, хотя бы в основном, природу ценообразования ресурсов, ограниченность которых осознается в настоящее время все более отчетливо.

Другими вариантами применения линейных моделей аналогичного вида могут быть: модель рационального составления диеты, модель составления жидких смесей, модель коммерческого арбитража и т.п.

Наконец, отметим, что приведенное касается управленческих задач тактического характера, когда планирование ведется на один временной период.

Дата добавления: 2014-01-06