Локальная теорема Лапласа

Выше была выведена формула Бернулли, позволяющая вычислить вероятность того, что событие появится в n испытаниях ровно k раз. При выводе мы предполагали, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Локальная теорема Лапласа даёт формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испы­таний достаточно велико.

Заметим, что для частного случая, а именно для р=1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730г. Муавром; в 1783г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного р, отличного от 0 и 1. Поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра – Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции

, при .

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента х (см. приложение 1). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четна, т. е. . Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна где .

Пример 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение: По условию, n=400; k=80; р=0,2; q=0,8. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

По таблице приложения 1 находим .

Искомая вероятность .

Дата добавления: 2014-01-06