КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Момент инерции однородного стержня
Момент инерции сплошного цилиндра (диска) Момент инерции кольца Момент инерции твердого тела относительно оси вращения
Рассмотрим тело, вращающееся вокруг оси z, проходящей через центр масс этого тела. Разобьём тело на систему материальных точек с массами. Вектор момента импульса i -й материальной точки относительно центра масс С равен:, а модуль этого вектора. Найдем проекцию вектора на ось вращения z:. Из заштрихованного треугольника (рис. 1.57) видно, что, где – расстояние от i -й точки до оси вращения (радиус вращения). Тогда и, учитывая, что, где – угловая скорость вращения тела, получим. Момент импульса тела относительно оси вращения равен сумме проекций моментов импульсов материальных точек, из которых состоит тело, на ось вращения. То есть момент импульса тела относительно оси z равен. Все точки тела вращаются с одинаковой угловой скоростью, тогда.
Величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты
их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела I относительно данной оси:
. Суммирование проводится по всем элементарным массам, на которые мысленно разбито тело. Чем меньше элементарные массы, тем более точным является выражение для момента инерции тела относительно оси вращения, и задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию:
.
Тогда момент импульса тела относительно оси вращения z равен:
.
Если у твердого тела ось симметрии совпадает с осью вращения, то векторы моментов импульсов и материальных точек, симметричных относительно оси вращения, при суммировании дают результирующий вектор момента импульса, лежащий на оси вращения (см. рис. 1.58). По правилу правого винта его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости. Тогда вектор момента импульса всего тела по отношению к центру масс С будет равен
.
I = mR 2.
.
Вынесем за знак интеграла:
.
Учитывая, что, получим
.
То есть момент инерции однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его геометрической оси:
.
Для полого цилиндра момент инерции равен, где R 1 и R 2 – его внешний и внутренний радиусы.
.
Учитывая, что, получим момент инерции однородного стержня относительно оси: .
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1071; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |