Метод линейной оптимизации

Исследований

Роль прикладных экономико-математических

Можно выделить, по крайней мере, четыре аспекта применения математических методов в решении практических проблем.

8.1. Совершенствование системы экономической информации. Математические методы позволяют упорядочить систему экономической информации, выявлять недостатки в имеющейся информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации или ее корректировки

8.2. Интенсификация и повышение точности экономических расчетов. Формализация экономических задач и применение компьютеров многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость, позволяют проводить многовариантные экономические обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве "ручной" технологии.

8.3. Углубление количественного анализа экономических проблем. Благодаря применению метода моделирования значительно усиливаются возможности конкретного количественного анализа; изучение многих факторов, оказывающих влияние на экономические процессы, количественная оценка последствий изменения условий развития экономических объектов.

8.4. Решение принципиально новых экономических задач. Посредством математического моделирования удается решать такие экономические задачи, которые иными средствами решить практически невозможно, например: нахождение оптимального варианта экономического развития, имитация государственных решений, автоматизация контроля за функционированием сложных экономических объектов.

Теория математического анализа моделей экономики развилась в особую ветвь современной математики - математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа.

ЛЕКЦИЯ 8 Основные методы теории принятия решений

Метод линейной оптимизации был разработан академиком Канторовичем в 30-е годы ХХ-го века. Чаще всего задача линейного программирования применяется при моделировании организации производства. По Канторовичу математическая модель организации производства выглядит следующим образом.

В производстве участвуют M различных производственных факторов (ингредиентов) - рабочая сила, сырье, материалы, оборудование, конечные и промежуточные продукты и др. Производство использует S технологических способов производства, причем для каждого из них заданы объемы производимых ингредиентов, рассчитанные на реализацию этого способа с единичной эффективностью, т.е. задан вектор a_k = (a_1k, a_2k,..., a_mk), k = 1,2...,S, в котором каждая из компонент a_ik указывает объем производства соответствующего (i-го) ингредиента, если она положительна; и объем его расходования, если она отрицательна (в способе k).

Выбор плана означает указание интенсивностей использования различных технологических способов, т.е. план определяется вектором x = (x₁, x₂,..., x_S) c неотрицательными компонентами.

Обычно на количества выпускаемых и затрачиваемых ингредиентов накладываются ограничения: произвести нужно не менее, чем требуется, а затрачивать не больше, чем имеется. Такие ограничения записываются в виде

s

S a _ikx_k > b_i;i=1,2,...,m. (1)

k=1

Если i > 0, то неравенство означает, что имеется потребность в ингредиенте в размере i, если i < 0,то неравенство означает, что имеется ресурс данного ингредиентов размере - i =¦ i¦. Далее предполагается, что использование каждого способа, связанного с расходом одного из перечисленных ингредиентов или особо выделенного ингредиента в количестве Ck при единичной интенсивности способа k. В качестве целевой функции принимается суммарный расход этого ингредиента в плане.

s

f(x) = S c_kx_k. (2)

k=1

Теперь общая задача линейного программирования может быть представлена в математической форме.

Для заданных чисел a_ik, c_k, и b_i найти

s

minSc_kx_k

k=1

при условиях

k > 0, k = 1,2,...,s [1]

s

S a_ikx_k > b_i, i = 1,2,...,m [2]

k=1

План, удовлетворяющий условиям [1] и [2], является допустимым, а если в нем, кроме того, достигается минимум целевой функции, то этот план оптимальный.

Задача линейного программирования двойственна, то есть, если прямая задача имеет решение, (вектор x =(x₁, x₂,..., x_k)), то существует и имеет решение обратная задача основанная на транспонировании матрицы прямой задачи. Решением обратной задачи является вектор y = (y₁, y₂...,y_m), компоненты которого можно рассматривать как объективно обусловленные оценки ресурсов, т.е. оценки, показывающие ценность ресурса и насколько полно он используется.

На основе объективно обусловленных оценок американским математиком Дж. Данцигом - был разработан симплекс-метод решения задач оптимального программирования. Этот метод весьма широко применяется. Алгоритм его весьма детально проработан и применяются во многих отраслях.

Метод линейной оптимизации с того момента, как он был разработан Канторовичем, не оставался без изменений, он развивался и продолжает развиваться. Например, формула (2) в современной интерпретации выглядит следующим образом.

S a_ij x_j < b_i (i Î I)(3)

j ÎA1

В чем же отличие?

Во-первых ограничение записывается не больше, либо равно, а меньше, либо равно, что больше соответствует экономическому смыслу правой стороны ограничения (bi - количество ресурсов).

Во-вторых, суммирование производится не по всем способам производства, а лишь по определенному их подмножеству (j Î A1),что также соответствует экономическим реалиям, когда по технологическим, или другим причинам не все способы производства участвуют в каком-либо конкретном ограничении.

Аналогично и с ресурсами, в ограничении участвуют не все ресурсы сразу, а какое-то их подмножество (i Î I).

Введением подмножеств не ограничилось совершенствование метода линейной оптимизации. В настоящее время разработаны еще целый ряд приемов и методов для различных случаев описания реалий хозяйственной практики в виде ограничений. Это такие приемы, как запись ограничений по использованию производственных ресурсов, запись ограничений по гарантированному объему работ или производства продукции, приемы моделирования при неизвестных значениях показателей и многие другие.

Цель всех этих приемов - дать более развернутую модель какого-либо явления из хозяйственной практики, сэкономив при этом на количестве переменных и ограничений.

Дата добавления: 2014-01-06