Гіпотези і доведення у наукових дослідженнях

Сутність і загальна схема перевірки гіпотез

Статистична гіпотеза - припущення щодо певних властивостей первинної сукупності, яке можна перевірити за даними вибіркового спостереження.

Найчастіше гіпотеза, яку належить перевірити, формулюється як відсутність розбіжності (нульова розбіжність) між невідомим параметром генеральної сукупності G і заданою величиною А, а тому її позначають Н₀. Зміст гіпотези записують після двокрапки, наприклад Н_о: G =А.

Кожній нульовій гіпотезі протиставляють альтернативну Н_а.

Ризик І - відхилення правильної нульової гіпотези, ризик II - невідхилення нульової гіпотези, коли насправді правильною є альтернативна.

Правило, за яким гіпотеза Н₀ відхиляється або не відхиляється (приймається), називається статистичним критерієм. Математичного основою будь-якого критерію є статистична характеристика θ, значення якої визначається за даними вибірки, а закон розподілу відомий. Кожне значення характеристики θ має певну ймовірність f (θ). Якщо вибіркове значення θ малоймовірне, гіпотеза Н_о відхиляється.

Межу малоймовірності значення θ називають рівнем істотності α. В гуманитарных науках принято считать, что нулевую гипотезу можно отвергнуть в пользу альтернативной гипотезы, если по результатам статистического теста вероятность случайного возникновения найденного различия не превышает 5 из 100. Если же этот уровень достоверности не достигается, считают, что разница вполне может быть случайной и поэтому нельзя отбросить нулевую гипотезу. В соціально-економічних дослідженнях перевірку гіпотез найчастіше здійснюють з рівнем істотності α = 0,10; 0,05.

Значення статистичної характеристики, що відповідає заданому рівню істотності α, поділяє розподіл на дві частини: а) область припустимих значень І; б) критичну область. Якщо вибіркове значення θ потрапляє у критичну область, гіпотеза Н₀ відхиляється, якщо в область припустимих значень - не відхиляється.

Залежно від того, як сформульована альтернативна гіпотеза, критична область може бути односторонньою (лівосторонньою чи правосторонньою) або двосторонньою. Як видно на рис. 1, при односторонній перевірці буде одне критичне значення, при двосторонній - два.

Рис.1. Лівостороння та двостороння критичні області

Послідовність перевірки статистичної гіпотези:

а) формулюють нульову Н₀ та альтернативну Н_а гіпотези;

б) вибирають статистичну характеристику θ, за значеннями якої перевіряють правильність гіпотези Н_о;

в) визначають рівень істотності α і відповідне йому критичне значення θ_1-а; залежно від формулювання гіпотез Н₀ і Н_а критична область може бути одно- або двосторонньою;

г) за результатами вибірки розраховують фактичне (вибіркове) значення статистичної характеристики б, яке порівнюють з критичним θ_1-а; якщо θ > θ_1-а, гіпотеза Н₀ відхиляється, при θ < θ_1-а - не відхиляється.

За цільовим спрямуванням перевірки гіпотез, сформульованих під час статистичної обробки даних, виділяють такі основні їх види:

ü про числові значення узагальнюючих характеристик сукупності (середньої, частки, дисперсії);

ü про тип розподілу випадкових величин;

ü про однорідність двох чи більше вибіркових сукупнос­тей;

ü про наявність і характер зв'язку між явищами;

ü про незалежність і стаціонарність часових рядів.

Перевірка цих гіпотез здійснюється за допомогою різних статистичних критеріїв. Найпоширеніші з них ґрунтуються на відомих розподілах: Стьюдента, χ², Фішера.

Критерії перевірки гіпотез

Перевірка гіпотез щодо середньої

Тестування гіпотез щодо середньої здійснюється у двох напрямах:

1) порівняння середньої зі «стандартом»;

2) порівняння середніх двох сукупностей.

При розв'язанні першого типу задач перевірці підлягає гіпотеза Н _о: = Х_о, тобто генеральна середня дорівнює стандарту Х₀, а різниця | – Х_о | = 0.

Коли гіпотеза Н_о істинна, порушення рівності = Х₀ можливе внаслідок дії механізму випадкового добору і властивої йому похибки. Щоб відхилити чи не відхилити гіпотезу Н₀, треба перевірити, випадкова чи не випадкова різниця | -Х_о|. Ступінь випадковості визначається стандартною похибкою вибірки, розмір якої залежить від варіації ознаки і обсягу вибірки:

Велика вибірка
Мала вибірка (п < 30)

Перевірка гіпотези Н _о: X=Х_о ґрунтується на використанні нормованого відхилення де вибіркова середня слугує оцінкою генеральної середньої X. У великих за обсягом сукупностях перевірку гіпотези здійснюють за z-критерієм, у малих сукупно­стях - за t - критерієм.

У малих вибірках п < 30 розподіл вибіркових середніх підпорядковується розподілу Стьюдента. Гіпотеза Н_o: X = Х₀ перевіряється за допомогою t-тесту, значення якого для α = 0,05 і числа ступенів свободи df= (n - 1) наведено у табл. 1. df - число незалежних величин, необхідних для визначення t-характеристики (degreez of freedom).

Таблиця 1. Критичні точки t -тесту для α= 0,05
df	Двосторонній	Односторонній	df	Двосторонній	Односторонній
	2,78	2,13		2,12	1,75
	2,57	2,01		2,10	1,73
	2,45	1,94		2,09	1,73
	2,37	1,89		2,07	1,72
	2,31	1,86		2,06	1,71
	2,26	1,83		2,06	1,71
	2,23	1,81		2,05	1,70
	2,20	1,80		2,04	1,70
	2,18	1,78		2,02	1,68
	2,16	1,77		2,01	1,68
	2,15	1,76		1,98	1,66
	2,13	1,75	СЮ	1,96	1,64

Приклад. Необхідно перевірити, чи відповідає зольність вугілля, що надійшло на теплоелектростанцію, нормативу (X₀ =16%). Для цього з різних вагонів узято 20 проб. За результатами аналізу проб середня зольність становить 17,2% при дисперсії - 12,2 (Вибіркова дисперсія далі позначається символом S²). Щоб відповісти на питання, випадкове чи не випадкове відхилення середньої від нормативу (17,2 - 16,0), перевірці під­дамо нульову гіпотезу Н₀: Х= 16 проти альтернативної Н_а: Х>16.

За даними вибірки стандартна похибка середньої дорівнює

Звідси вибіркове значення

Для числа ступенів свободи df = 20 - 1 = 19 і рівня істотності α = 0,05 критичне значення одностороннього критерію становить t₁-_а (19) = 1,73. Вибіркове значення менше за критичне (1,5 < 1,73), тобто належить області припустимих значень, а отже, гіпотеза про те, що середній рівень зольності вугілля відповідає стандарту, не відхиляється.

Аналогічна процедура перевірки гіпотез щодо часток розподілу. Слід зазначити, що частка - це середня величина ознаки, яка має лише два взаємовиключні значення (0; 1).

Нехай гіпотеза полягає в тому, що частка дорівнює певному нормативу р_о, тобто Но: р=р_о. Дисперсія частки розраховується за формулою s² = р(1 — р), де р і (1-р)- частки вибіркової сукупності, які відображають наявність і відсутність певної властивості. Стандартна похибка частки визначається за форму­лою

Приклад. За даними вибіркового обстеження 26 актів прийому будівельних об'єктів частка дефектів малярних робіт становила 18% при допустимій нормі дефектів 4%. Визначити чи відповідає нормативам якість малярних робіт.

Нульову гіпотезу Н₀: р=р_о перевіримо проти альтернативної Н_а: р > р_о за допомогою одностороннього t-критерію. Стандартна похибка дорівнює

а значення t- критерію за даними вибірки

Оскільки вибіркове значення t потрапляє в критичну об­ласть одностороннього критерію (1,82>t_1-0,05(25) = 1,71), то гіпотеза про те, що якість малярних робіт відповідає нормативу, відхиляється з імовірністю 1-α = 1 - 0,05 = 0,95.

При перевірці гіпотези щодо частки статистичною характе­ристикою критерію може бути сама частка р₀. У такому разі для заданого рівня істотності α визначаються межі припустимих значень частки і на їхній основі - критичні точки.

У нашому прикладі р₀ = 0,04,, а верхня критична точка двостороннього критерію з імовірністю α= 0,05 становить 0,04+ + 2,06 x 0,039 = 0,08.

Фактичне значення частки виявляється поза межами припустимих значень (0,18 > 0,08), що дає підстави відхилити нульову гіпотезу. Отже, і за цим критерієм якість малярних робіт не відповідає нормативу.

Дата добавления: 2014-01-06