Уравнения Максвелла. Гипотезы Максвелла позволяют записать систему уравнений электромагнитного поля

Гипотезы Максвелла позволяют записать систему уравнений электромагнитного поля.

	Дифференциальная форма	Интегральная форма
Теорема Гаусса для электрического поля
Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея) (теорема о циркуляции вектора напряжённости электрического поля)
Теорема Гаусса для магнитного поля
Теорема о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля

В материальной среде эти системы дополняются уравнениями (материальные уравнения):

	Дифференциальная форма	Интегральная форма
Закон Ома
Закон сохранения электрического заряда		.

, в однородном изотропном диэлектрике,

, в однородном изотропном магнетике.

Условия на границе раздела сред:

,,,.

Данная система уравнений в дифференциальной форме содержит 15 координат векторов,,,, и функцию - объёмной плотности электрического заряда – итого 16 неизвестных. Количество уравнений Максвелла в координатной форме равно 8, материальных уравнений – 10, итого 18 уравнений. (При этом некоторые уравнения могут быть следствием других в данной системе.).

Кроме того, необходимо добавить начальное распределение зарядов (токов) и значения неизвестных параметров на границе рассматриваемой области.

В общем случае, нахождение характеристик электромагнитного поля является достаточно трудоёмкой задачей.

Оператор «набла».

Введем оператор, обозначаемый, который сопоставляет функции её градиент:

или в декартовых координатах:.

Если ввести векторы-орты декартовой системы координат, то это соответствие можно записать в виде равенства:.

Поэтому для оператора «набла» используют обозначение в виде вектора:

с условием, что он действует на функцию только слева.

Если в некоторой области задано непрерывно-дифференцируемое векторное поле, то с помощью этого обозначения оператора «набла» дивергенция векторного поля записывается как скалярное произведение, а ротор векторного поля – как векторное произведение:. Эти обозначения удобны тем, что соотношения векторного анализа

и становятся более наглядными.

Действительно,

,

т.к. в этом определителе две одинаковые строки.

Проверим второе равенство:

,

т.к. векторное произведение вектора на себя равно нулю.

Заметим, что квадрат оператора набла равен оператору Лапласа.

Можно показать, что для непрерывно-дифференцируемого векторного поля (с учётом правил применения оператора «набла») выполняется равенство:

.§

Уравнения Максвелла, записанные с помощью оператора «набла» примут вид (в дифференциальной форме):

,,

,.

Лекция 11. Электромагнитные волны.

Волновое уравнение для электромагнитного поля, его общее решение. Распространения электромагнитных волн. Энергия и импульс электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга. Теорема Пойнтинга.

Рассмотрим уравнения Максвелла в вакууме в условиях отсутствия зарядов и токов.

При r=0,, e=1, m=1 уравнения в дифференциальной форме примут вид

,,

,.

Учитываем материальные уравнения, и получаем систему уравнений

		(1)
		(2)
		(3)
		(4)

Начинаем преобразования уравнений (2) и (4):, откуда

. (5)

Т.к. из (4) следует, что, то равенство (5) примет вид

или

. (6)

Но, как известно из лекции № 10, поэтому с учётом (3), уравнение (6) равносильно уравнению

. (7)

Аналогичные преобразования можно провести для вектора: из (2) следует:,

из (4) следует:.

Учитывая (1), получаем, поэтому

. (8)

Полученные уравнения (7) и (8) имеют вид волнового уравнения – они описывают распространение плоских электромагнитных волн. Сразу можно сказать, что фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме равна м/с и совпадает со значением скорости света в вакууме.

При распространении электромагнитных волн в среде с постоянными значениями e и m, выражение для фазовой скорости примет вид, где величина называется показателем преломления среды.

Замечание. Предположение о постоянстве значений e и m приводит к расхождению с опытными значениями показателя преломления. Например, для воды e»81 и m»1, что даёт значение расчётное n»9. Однако экспериментально определено значение n»1,5. Несовпадение объясняется возможной зависимостью e и m от частоты и других параметров волны.

Волновое уравнение является линейным, в том смысле, что любая линейная комбинация решений тоже является решением. Отсюда, как известно из предыдущего семестра, следует принцип суперпозиции для волновых полей – наложение волновых полей является волновым полем. Поэтому выделяют «простейшие» волновые поля – поля (или волны), соответствующие определённым частотам. Такие «простейшие» волны, определённая частота которых постоянная, называются монохроматическими.

Пример. Электромагнитная волна, частоты колебаний векторов в которой равны 1000 Гц и 2000 Гц является суперпозицией двух монохроматических волн с частотами 1000 Гц и 2000 Гц.§

В декартовых координатах волновые уравнения (7) и (8) имеют вид

,.

Эти уравнения описывают распространение плоских волн. Пример записи решения для первых уравнений каждой из систем

,,

(индекс «Е» соответствует параметрам напряжённости электрического поля, а «Н» - магнитного), где в соответствующей волне, - радиус-вектор точки, где находится волна, а для координат волнового вектора справедливо соотношение:

.

Знак «-» соответствует «убегающей» волне, а знак «+» - набегающей.

Обратим внимание на тот факт, что волновые уравнения для каждой из координат векторов и независимы друг от друга, поэтому общее решение можно рассматривать как суперпозицию решений для координат векторов.

При этом решения волновых уравнений согласованы. Т.е. определённому решению одного из волновых уравнений для какой-то координаты вектора напряжённости электрического поля соответствует определённое решение одного из волновых уравнений для координат вектора напряжённости магнитного поля, и наоборот.

Поэтому можно искать решения, соответствующие, например, вектору. Но согласно принципу суперпозиции волновых полей, решение, соответствующее вектору можно найти как суперпозицию решений, соответствующих векторам,,.

Аналогично, можно искать решения по вектору напряжённости магнитного поля.

Пример. Найдем решения для случая, когда волна движется вдоль оси z, а вектор напряжённости электрического поля имеет вид:, где составляющие вектора зависят только от z. Волна в этом случае является суперпозицией волновых полей векторов и. Система волновых уравнений в декартовых координатах примет вид:

.

Так как ищем решения в виде волны, то будем предполагать, что в рассматриваемой области нет постоянных во времени электрического и магнитного полей. Т.е., если при решении получается постоянное значение какой-то составляющей векторов или, то это значение можно считать равным нулю.

Из уравнения (1): следует:, откуда не зависит от координат, но, возможно, зависит от времени. Но эта проекция должна также удовлетворять волновому уравнению:. Поэтому - т.е. поле постоянное, откуда.

Из уравнения (2):, с учётом получим:

, тогда остаются равенства:

Проекция в соответствии с первым равенством последних соотношений не зависит от времени, но, так как она должна являться решением волнового уравнения

,

то, поэтому.

Искомые составляющие векторов и зависят только от z, следовательно, должно быть, поэтому из третьего равенства следует и, по аналогии,

Из уравнения (3): следует:. Из уравнения (4): с учётом,, и =0 получим:

,

что даёт соотношение. Получаем систему уравнений:

,

откуда можно опять получить волновые уравнения и.

Следовательно, вектору напряжённости электрического поля соответствует вектор напряженности магнитного поля.

Поэтому вектору будет соответствовать вектор.

Но векторам и не соответствует никакая плоская электромагнитная волна, распространяющая вдоль оси Z.

Заключения по результатам примера.

1) Плоская электромагнитная волна является поперечной.

Действительно, из примера следует, что продольные составляющие (вдоль направления движения волны - оси Z) векторов напряжённостей электрического и магнитного полей равны нулю и.

Векторы и направлены перпендикулярно друг другу и перпендикулярно направлению движения волны. Если направление движения волны вдоль оси Z задать волновым вектором, то можно сказать что тройка векторовявляется правой.

2) Колебания напряжённостей электрического и магнитного полей в любой точке плоской волны происходят с одинаковой фазой.

Действительно, пусть решения волновых уравнений имеют вид

,.

Тогда, например, из равенства следует, что

.

Это равенство возможно, только если фазы волн равны с точностью до p.

Z

X

Y

E

H

k

Откуда, т.е. колебания происходят с одинаковой частотой, и, так как фазовые скорости одинаковые, то равны и волновые числа.

Из равенства амплитуд следует соотношение. Но фазовая скорость волны (в вакууме), поэтому.

Дата добавления: 2014-01-06