КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Формула конечных приращений
Если т. a=x, b=x+ Δ x отрезок [x; x+ Δ x], то по теореме Лагранжа , где . Или, учитывая, что , , получим
– формула конечных приращений.
7.4. Теорема Коши [16]
Proof:
Чтобы воспользоваться теоремой Роля (см. п. 7.2) введем вспомогательную функцию .
Очевидно, что , . Тогда по теореме Роля . Производная .
В т. , т.е. .
Откуда , ч.т.д.
7.5. Правило Лопиталя [17]. Раскрытие неопределенностей
Proof: По теореме Коши , где . По условию теоремы и , т.е. . Тогда при (по теореме о сжатой переменной) .
Или .
Пусть , тогда при , т.о. символ «с» можно заменить на символ «x», т.е. если .
– Правило Лопиталя, причем, следует иметь ввиду, что его необходимо читать «справа-налево», т.е. если существует предел отношения производных, то существует предел отношения функций и эти пределы совпадают.
Ex.1.
Ex.2. Ex.3.
Пусть , тогда Т.о., , откуда
.
7.6. Многочлен Тейлора [18] и Маклорена [19]. Остаточный член в форме Пеано и Лагранжа
Proof:
Пусть . Пусть – многочлен n -й степени, – неизвестные константы. Тогда .
Пусть выполняется (n+ 1 )- е условие: , , , ……………….. .
Напомним, что .
1. Пусть х=х0, тогда
или .
Вычислим производную от многочлена Pn(x). .
2. Пусть х=х0, тогда или . Вычислим производную 2-го порядка от Pn(x). .
3. Пусть х=х0, тогда . Продолжая этот процесс, вычисляя производные 3-го, 4-го, 5-го, …, n -го порядка, и, подставляя вместо , получим , , …, . Подставляя эти значения констант в формулу для многочлена Pn(x), получим . Докажем, что или ,
т.е. .
Т.о., – формула Тейлора
с остаточным членом – в форме Лагранжа.
ГЛАВА 8. Исследование функций с помощью производных
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 429; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |