Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Предположим, что к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Z, приложены внешние силы (рис. 147). Вычислим сначала элементарную работу отдельной силы , которая приложена в точке , описывающей окружность радиусом . Разложим эту силу на три составляющие, направленные по естественным осям траектории точки :

Определим момент силы относительно оси Z как сумму моментов ее составляющих относительно этой оси. Составляющая по главной нормали пересекает ось Z, составляющая по бинормали параллельна оси Z, следовательно, моменты этих сил равны нулю. Таким образом, момент силы относительно оси Z равен моменту силы , которая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси Z:

При элементарном перемещении тела его угол поворота φ получает приращение dφ, а дуговая координата точки - приращение . Вычислим работу силы на этом перемещении как сумму работ трех ее составляющих (см. § 60). Работа сили , перпендикулярных к вектору скорости точки , равна нулю. Поэтому элементарная работа силы :

Элементарная работа всех сил, приложенных к твердому телу,

где - главный момент внешних сил относительно оси вращения Z. Таким образом, (65.5)

т. е. элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота.

Если при вращении тела значение его угла поворота изменяется от φ₁ до φ₂, то сумма работ сил на этом конечном перемещении (65.6)

В случае, если главный момент внешних сил относительно оси вращения тела постоянен, и (65.7)

т. е. в этом случае сумма работ сил на конечном перемещении равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на конечное изменение угла поворота тела.

В формуле (65.7) угол поворота выражен в радианах, т. е. представляет собой отвлеченную величину, а размерность работы совпадает с размерностью момента.

Пользуясь формулой (65.6), можно определить мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω, (65.8)

Общий случай движения свободного твердого тела.

Предположим, что к свободному твердому телу, движущемуся как угодно в пространстве, приложены внешние силы (рис. 148). Элементарное перемещение свободного твердого тела можно разложить на поступательное перемещение с некоторым полюсом О, определяемое приращением дуговой координаты , и поворот на элементарный угол вокруг мгновенной оси Ω, проходящей через полюс (см. ч. 1, «Кинематика»; § 107).

Сумма элементарных работ всех сил на поступательном перемещении определится по формуле (65.3) как элементарная работа главного вектора внешних сил , приложенного в полюсе О.

Сумма элементарных работ всех сил на перемещении при повороте вокруг мгновенной оси Ω определится по формуле (65.5) как произведение главного момента внешних сил относительно мгновенной оси на элементарный угол .

Тогда элементарная работа всех сил, приложенных к свободному твердому телу, движущемуся как угодно, (65.9)

Таким образом, элементарная работа внешних сил, приложенных к свободному твердому телу в общем случае его движения, равна сумме элементарных работ их главного вектора на перемещении точки его приложения - полюса и главного момента этих сил относительно мгновенной оси, проходящей через полюс, на перемещении при повороте вокруг этой оси.

Дата добавления: 2014-01-07