Модель, основанная на биномиальном распределении числа аварий

Предположим проводится «n» независимых испытаний («n», например, число дней в году, одно испытание – день), в каждом из которых может произойти событие А (например, А – авария) либо не произойти, то есть наблюдаем противоположное событие. Пусть случайная величина - число наступлений событий в серии из «n» независимых испытаний, из курса теории вероятностей известно, что аналитическим выражением закона распределения такой случайной величины будет:

- здесь - вероятность наступления событий в одном испытании, то есть

Случайная величина задана на. Например, в случае двух испытаний это можно изобразить в таблице:

В общем случае пространство, на котором задана случайная величина, представимо в виде объединений непересекающихся множеств:

.

Отсюда, в частности, следует, что

,

здесь - индикатор событий (использовано свойство, если). В силу того, что имеем в частности

Пусть - случайная величина, описывающая “величину ущерба” при аварии, выраженная в сумме компенсаций, которую выплатит страховая компания клиенту. Будем считать, что не зависит от. Это предположение довольно естественно, так как действительно, если произошла авария, то выплата компенсации клиенту (в этом конкретном случае) вряд ли связана с тем, сколько аварий он совершит за год. Предположим, что известно распределение выплат, т.е. известна функция, равная нулю для неположительных неубывающая, принимающая на бесконечности значение 1.

Тогда ее числовые характеристики:

,

Пусть случайная величина - суммарные выплаты страховой компании - му из застрахованных клиентов за год, тогда

здесь - величина выплаты при «» - ой аварии в течение срока от 1 до, - число аварий. Предположим, что и между собой также независимы. Подставив выражение для индикатора, имеем

тогда

так как при

в силу того, что

Далее, так как то

В силу того, что

то есть

имеем

так как дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий. Тогда

то есть дисперсия случайной величины, равной выплате страховой компании -му клиенту за период застрахованности («n» - дней) равна дисперсии одной выплаты умноженной на среднее число аварий –, плюс дисперсии числа аварий – умноженной на квадрат средней выплаты за один раз.

Пусть компанией застраховано «N» клиентов, каждый из которых заплатил сумму, где «» - нагрузка, тогда суммарные выплаты компании N клиентам за период страхования составят сумму -; страховая компания получила от клиентов сумму, равную, тогда вероятностью «разорения» компании будет:. Эту вероятность можно приблизительно подсчитать, воспользовавшись центральной предельной теоремой теории вероятностей, то есть приближением Гаусса. Действительно

,

где - функция Лапласа.

Для того чтобы найти нагрузку (loading), причем такую, чтобы вероятность разорения компании была равна (), решим уравнение

,

по таблицам значений функции Лапласа находим значение, такое, что, откуда

, то есть.

Покажем, как полученные результаты могут быть использованы на практике.

Пусть за предыдущий год было заключено однотипных договоров (например, застраховано автомобилей на год n =365) выяснилось, что за этот год было совершено аварий, в результате чего было выплачены страховые возмещения при наступлении страховых случаев (в данном случае – аварии): за первую -, за вторую -, и так далее за последнюю -. Тогда в следующем году в качестве оценки вероятности аварии можно принять:

.

Пример. Пусть вероятность разорения компании 5%, тогда, для 10000 человек застрахованных (N =10000), то

,

в этом случае цена страхового полиса будет равна:

.

Несколько усложним рассматриваемую модель. Предположим, что страховая компания сочетает в себе так же и функции банка, именно, если клиент покупает у нее страховой полис за сумму и в течение года не совершает аварии, то компания возвращает ему эту сумму с процентами.

Рассмотрим практику начисления простых процентов (такая практика принята, если срок меньше, либо равен году) годовая процентная ставка равна, тогда сумма, выплачиваемая компанией конкретному клиенту равна:

В этом случае

тогда аналогично предыдущему - сумма выплат (общая) страховой компании клиентам, и

,

то есть, задавая вероятность разорения компании «», найдем, решая уравнение:

.

Тогда нагрузка d' будет равна:

.

Сравнивая с очевидно, что нагрузка в последнем случае несколько больше,

чем.

Имеет смысл рассмотреть случай вероятности аварии, сравнимой с числом, то есть

, тогда

где - среднему числу аварий, совершенных за год конкретным клиентом, тогда очевидно, то есть нагрузку можно подсчитать по «приблизительной» формуле:

- здесь равно среднему числу аварий, совершенных клиентом за период от 1 до В качестве оценки можно взять величину, здесь - число аварий, совершенных - ым застрахованным за период от 1 до Отсюда так же видно, что если - среднее число аварий возрастает, то нагрузка убывает за счет слагаемого и растет за счет второго слагаемого, при некотором нагрузка будет принимать минимальное значение. Обратим так же внимание читателя на то, что при таких выражение, стоящее под корнем есть ни что иное как, так как; таким образом, чтобы подсчитать нагрузку достаточно вместо подставить выражение, где; здесь - число застрахованных за предыдущий год, - выплаты - ому застрахованному.

Дата добавления: 2014-01-07