Практичні завдання і контрольні запитання. 1. Аналітичні правила для кванторних формул

Теоретичні питання

1. Аналітичні правила для кванторних формул. Доведення правильності міркувань природної мови за допомогою методу аналітичних таблиць для відповідних формул логіки предикатів.

2. Встановлення неправильності міркувань природної мови засобами логіки предикатів. Побудова контрмоделі.

3. Символізація міркувань і побудова аналітичних таблиць із використанням предикату тотожності.

22. Вста­но­віть, чи бу­дуть фо­р­му­ли (1)-(10) із впра­ви 18 іс­тин­ни­ми за умо­ви ін­тер­пре­та­цій:

(а) U: {а}, К: {a}, G: {}, H: { }, Р- хи­б­не;

(б) U: {a, b}, K: {a}, G: {а, Ь], Н: { }, Р- іс­тин­не;

(в) U: {а, Ь, с}, К: (a, b, c}, G: {a, b}, H: {b}, P- хи­б­не.

23. Яку фо­р­му­лу ло­гі­ки пре­ди­ка­тів вва­жа­ють за­га­ль­но­зна­чу­щою?

24. Здій­с­ніть символізацію за­зна­че­них мі­р­ку­вань за допомогою мо­ву ло­гі­ки пре­ди­ка­тів і, використовуючи ме­то­д ана­лі­ти­ч­них таб­лиць, до­ве­діть, що міркування є правильними:

(а) „Том - кіт. Усі ко­ти - ро­зу­м­ні. От­же, Том - ро­зу­м­ний” (‘m’, ‘B’, ‘D’);

(б) „Том - ро­зу­м­ний. Жо­д­ний кіт не є ро­зу­м­ним. От­же, Том - не кіт”;

(в) „Том - не кіт. Ли­ше ко­ти від­да­ні. От­же, Том - не від­да­ний”;

(г) „У­сі лі­ка­рі-­чо­ло­ві­ки - дбай­ли­ві. Ва­силь - не дбай­ли­вий. Ва­силь - чо­ло­вік. От­же, Ва­силь - не лі­кар”. (‘M’, ‘N’, ‘S’, ‘n’).

(д) „У­сі фра­н­цу­зи, за ви­клю­чен­ням ме­ш­ка­н­ців Па­ри­жа, лю­б'я­з­ні.

Жак - фра­н­цуз. Жак - не лю­б'я­з­ний. От­же, Жак - ме­ш­ка­нець Па­ри­жа” (‘G’, ‘Р’, 'K’, ‘a’).

25. (1) За до­по­мо­гою ме­то­ду ана­лі­ти­ч­них таб­лиць до­ве­діть:

(а) ["x(Kx É Gx) & "x(Gx É ~Hх)] |= "x(Kx É ~Нх);

(б) ["x(Kx É ~Gx) & "x(Hx É Gх)] |= "x(Kx É ~Нх);

(в) ["x(K xÉ Gx) & "x(Hx É ~Gх)] |= "x(Kx É ~Нх);

(г) ["x(Gx É ~Kx) & "x(Hx É Gх)] |= "x(Kx É ~Нх);

(д) "х(Кх É Gx) |= ("хKx É "xGx);

(е) ["х((Кх v Gx) É Нх) & " х~Нх] |= "х~Кх.

(2) Для ко­ж­но­го із на­ве­де­них ни­ж­че мі­р­ку­вань ви­бе­ріть (се­ред за­про­по­но­ва­но­го у п.(1) пе­ре­лі­ку) пе­в­ну фо­р­му­лу, яка від­повідає йо­го ло­гі­ч­ній фо­р­мі:

(а) „Жо­д­ний ні­мець не є фра­н­цу­зом. Всі ба­ва­р­ці - ні­м­ці. От­же, жо­д­ний фра­н­цуз не є ба­ва­р­цем”;

(б) „Жо­д­ний фра­н­цуз не п'є пи­во. Всі ба­ва­р­ці п'ють пи­во. От­же, жо­д­ний фра­н­цуз не є ба­ва­р­цем”;

(в) „У­сі ба­ва­р­ці п'ють пи­во. Жо­ден фра­н­цуз не п'є пи­во. От­же, жо­д­ний ба­ва­рець не є фра­н­цу­зом”;

(г) „У­сі ні­м­ці - па­т­рі­о­ти. Жо­д­ний па­т­рі­от не є не­щи­рим. От­же, жо­д­ний ні­мець не є не­щи­рим”.

26. Здій­с­ніть символізацію за­зна­че­них мі­р­ку­вань за допомогою мо­ву ло­гі­ки пре­ди­ка­тів і, використовуючи ме­то­д ана­лі­ти­ч­них таб­лиць, до­ве­діть, що міркування є правильними:

(а) „Я­к­що ко­ж­ний ро­зу­м­ний фі­ло­соф - ци­нік і ли­ше жі­н­ки є ро­зу­м­ни­ми фі­ло­со­фа­ми, то то­ді, як­що іс­ну­ють ро­зу­м­ні фі­ло­со­фи, де­які жі­н­ки - ци­ні­ки”.

(б) „Де­я­кі ре­с­пу­б­лі­ка­н­ці лю­б­лять усіх де­мо­к­ра­тів. Жо­ден ре­с­пу­б­лі­ка­нець не лю­бить жо­д­но­го со­ці­а­лі­с­та. От­же, жо­ден де­мо­к­рат не є со­ці­а­лі­с­том”.

(в) „Я­к­що йде дощ, жо­д­на пта­ш­ка не є ща­с­ли­во­ю. Як­що йде сніг, де­які пта­ш­ки - ща­с­ли­ві. От­же, те, що сніг не йде, є не­об­хід­ною умо­вою для то­го, щоб йшов дощ” (по­зна­ч­те ‘дощ іде’ про­по­зи­цій­ною змін­ною p, а ‘сніг іде’ - q).

27. До­ве­діть, що:

(а) ~"х(Кх É Gx) & "х(Нх É Gx) |= $х~Нх;

(б) "x(Kx É p) & ~p |= "х~Kх;

(в) "x(Hxz É Нах) & Наz |= Наа;

(г) "х(Кх «Gx) & Ga |= $уКу;

(д) "x(Kx «Gx) & ~$y~Gy |= Kb;

28. До­ве­діть, що за­про­по­но­ва­ні ви­ра­зи не бу­дуть пра­ви­ль­ни­ми (по­бу­дуй­те роз­ши­рен­ня ква­н­то­р­них фо­р­мул для уні­вер­су­му U:{а,Ь} і знайдіть від­по­ві­д­ні контр­мо­де­лі):

(1) "xKx É"xGx |="x(Kx É Gx);

(2) $хКх É $ xGx |= "х(Кх É Gx);

(3) $хКх & $ xGx |= $х(Кх & Gx);

(4) $х(Кх v Gx) |= "xKx v "xGx;

(5) $х(Кх É Gx) |= $хКх É $xGx;

(6) $х(Кх É Gx) |= "хКх É "xGx;

(7) "xKx «"xGx |="x(Kx «Gx);

(8) $xKx «$xGx |="x(Kx «Gx);

(9) "xKx «p |= "x(Kx «p);

(10) $xKx «p |= "x(Kx «p);

(11) $x(Kx «p) |= $xKx «p;

(12) $x(Kx «p) |= "xKx «p.

29. Вста­но­віть пра­ви­ль­ність мі­р­ку­ван­ня:

(а) „Ко­ж­ний лі­н­г­віст зне­ва­жає де­яко­го фі­ло­со­фа, який кри­ти­ку­вав Хом­сь­ко­го. Хом­сь­кий — лі­н­г­віст. Ко­ж­ний фі­ло­соф, який кри­ти­ку­вав лі­н­г­ві­с­та — по­зи­ти­віст. От­же, ко­ж­ний лі­н­г­віст зне­ва­жає де­яко­го по­зи­ти­ві­с­та”.

(б) „І­с­нує хтось, хто го­то­вий за­пла­ти­ти за всі кви­т­ки. От­же, за ко­ж­ний кви­ток хтось го­то­вий за­пла­ти­ти” (по­зна­чення: ‘бу­ти лю­ди­но­ю’ - Р, ‘бу­ти кви­т­ком’ - В, ‘х го­то­вий за­пла­ти­ти за у’ - Gxy).

(в) „Ко­ж­ний, хто ку­пив кви­ток, отри­мує пре­мі­ю. От­же, як­що пре­мій не­має, то ні­хто не ку­пу­вав кви­т­ки” (по­зна­чення: ‘бу­ти кви­т­ком’ - G, ‘бу­ти пре­міє­ю’ - Р, ‘х ку­пує у’ - Вху, ‘х отри­мує у’ - Rxy).

(г) „У­сі ві­в­ці тва­ри­ни. От­же, усі го­ло­ви овець є го­ло­ва­ми тва­рин” (по­зна­ч­ення: ‘бу­ти ві­в­це­ю’ - Р, ‘бу­ти тва­ри­но­ю’ - G, ‘х є го­ло­вою у’ - Нху).

(д) „Кит — сса­вець. Де­які ри­би — сса­в­ці. Усі ри­би ма­ють хвіст. От­же, де­які хво­с­ти риб є хво­с­та­ми сса­в­ців” (по­зна­чення: ‘а є хво­с­том b’ - Hab).

(е) „Я­к­що ко­ж­ний роз­мо­в­ляє із ко­ж­ним, то­ді хтось по­зна­йо­мив їх. Ні­хто' не зна­йо­мить будь-­ко­го із будь-­ким, як­що він' їх обох не зна­є. Ко­жен роз­мо­в­ляє з Ос­та­пом. От­же, ко­ж­но­го зна­йо­мить з Ос­та­пом хтось, хто йо­го (Ос­та­па) зна­є” (по­зна­ч­ення: ‘а зна­йо­мить b і с’ - IаЬс, ‘а роз­мо­в­ляє із b’ - Pab, ‘а знає b’ - Gab, ‘Ос­тап’ – m).

30. Користуючись предикатом тотожності, символізуйте висловлювання:

(а) Наявні принаймні три помилки.

(б) Наявні щонайбільше три помилки.

(в) Наявні точно три помилки.

(г) Більше двох людей помітили помилку.

(д) Усі, за виключенням Андрія, пішли.

(е) Ніхто, окрім Юрія, не знає.

(є) Андрій співав, а хтось інший (хтось іще) роздивлявся навкруги.

(ж) Петро поважає тільки себе.

(з) Петро поважає якусь іншу людину.

(и) Лише Еверест варто підкорювати.

(і) Людей, які люблять тільки себе, не люблять інші люди.

31. Символізуйте запропоноване міркування і за допомогою методу аналітичних таблиць доведіть його правильність: «Існує щонайбільше дві розумні людини і принаймні два генії. Усі генії розумні. Отже, є точно дві розумні людини».

32. Доведіть, що відношення не може бути:

(а) інтранзитивним і рефлексивним;

(б) асиметричним і не рефлексивним;

(в) транзитивним, рефлексивним і асиметричним;

(г) транзитивним, несиметричним і іррефлексивним.

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА ДО ТЕМИ 3

[ 1: Книга перша: розд. ІV, IX (§§ 5-6); книга друга: частимна ІІ Б (розд.І); 2: с.127-142, 144-145, 283-284, 3: розд.V].

Дата добавления: 2014-01-07