Основне рівняння динаміки матеріальної точки

Основним рівнянням руху матеріальної точки є рівняння другого закону Ньютона:

.

Розв’язати його – основна задача динаміки матеріальної точки. При цьому можливі дві протилежні постановки задачі.

1.Знайти силу , що діє на точку, якщо відомі маса точки та залежність від часу її радіуса-вектора .

2.Знайти залежність від часу радіуса-вектора , якщо відомі маса точки, сила (або сили ), що на неї діє і початкові умови – швидкість і положення точки в початковий момент часу.

В першому випадку задача зводиться до диференціювання по часу, у другому – до інтегрування рівняння. В залежності від поставленої задачі розв’язок рівняння розшукують або в векторному вигляді, або в координатному, або в проекціях на дотичну та нормаль до траєкторії.

В проекціях на осі декартових координат x, y, z рівняння набуває вигляду

.

Тут , , – проекції вектора на осі , , . В залежності від орієнтації вони можуть бути додатними і від’ємними. Знак проекції результуючої сили визначить і знак проекції вектора прискорення.

Стандартний підхід до розв’язку задач за допомогою рівняння розглянемо на прикладі аналізу ковзання невеликого бруска маси по похилій площині, що утворює кут з горизонтом. Знайдемо прискорення бруска відносно площини.

Спочатку слід вказати всі сили, що діють на брусок (рис.23). Це сила тяжіння , нормальна сила реакції з боку площини і сила тертя .

Далі зв’яжемо з системою відліку, похилою площиною, систему координат. Вибір осей , , визначається характером руху тіла. В даному випадку одну із осей доцільно вибрати в напрямі руху, тобто вздовж похилої площини, як показано на рис.23. І тільки тоді приступимо до складання рівнянь руху, проектуючи на відповідні осі векторне рівняння

.

Проекція на вісь : .

Проекція на вісь : .

Внаслідок того, що брусок рухається тільки вздовж осі , маємо , а тому , .

В результаті одержимо

.

Якщо права частина цього рівняння вийде додатною, то , а це означає, що вектор направлений вниз по похилій площині, і навпаки.

В проекціях на дотичну і нормаль до траєкторії в даній точці рівняння (з урахуванням отриманих в кінематиці виразів для тангенціального і нормального прискорень) буде мати вигляд

,

Тут , – проекції вектора на орти і (рис.24). Вектори і називають тангенціальною і нормальною складовими сили .

Рівняннями зручно користуватись, коли відома траєкторія руху матеріальної точки.

Приклад. Невелике тіло ковзає з вершини гладенької сфери радіуса . Знайти швидкість тіла в момент відриву від поверхні сфери, якщо його початкова швидкість була рівна нулю.

Вкажемо всі сили, силу тяжіння і нормальну силу реакції , які діють на тіло (рис.25). Далі запишемо рівняння в проекціях на орти і .

,

.

Перетворимо перше рівняння до вигляду, зручного для інтегрування. Скористаємось тим, що ,

.

Перепишемо перше рівняння

.

Інтегруючи його одержимо

.

Із початкових умов , при , випливає . Тоді останнє рівняння можна записати так

.

З врахуванням другого рівняння , яке відповідає умові відриву тіла , одержуємо

.

Глава 3
Рух в неінерціальних системах відліку

Дата добавления: 2014-01-06