Операція множення матриць

Визначення: Добутком матриць називається матриця, елементи якої можуть бути обчислені за наступними формулами:

A × B = C;

.

З наведеного визначення видно, що операція множення матриць визначена тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другої.

Властивості операції множення матриць.

1) Множення матриць не комутативне, тобто АВ ¹ ВА навіть якщо визначені обидва добутки. Однак, якщо для яких-небудь матриць співвідношення АВ = ВА виконується, то такі матриці називаються комутуючими.

Найхарактернішим прикладом може слугувати одинична матриця, що є комутуючою з будь-якою іншою матрицею того ж розміру.

Комутуючими можуть бути тільки квадратні матриці того самого порядку.

А × Е = Е × А = А

Очевидно, що для будь-яких матриць виконуються наступну властивість:

A×O = O; O×A = O,

де О – нульова матриця.

2) Операція перемножування матриць асоціативна, тобто якщо визначені добутки АВ і (АВ) С, то визначені ВС і А (ВС), і виконується рівність:

(АВ) С = А (ВС).

3) Операція множення матриць дистрибутивна стосовно додавання, тобто якщо мають сенс виразу А (В + С) і (А + В) С, те відповідно:

А (В + С) = АВ + АС

(А + В) С = АС + ВС.

4) Якщо добуток АВ визначений, то для будь-якого числа a вірне співвідношення:

a (AB) = (a A) B = A (a B).

5) Якщо визначено добуток АВ, те визначений добуток В ^Т А ^Т і виконується рівність:

(АВ)^Т = В ^Т А ^Т, де

індексом Т позначається транспонована матриця.

6) Відмітимо також, що для будь-яких квадратних матриць det (AB) = det A det B.

Поняття det (визначник, детермінант) буде розглянуто нижче.

Визначення. Матрицю В називають транспонованою матрицею А, а перехід від А к В транспонуванням, якщо елементи кожного рядка матриці А записати в тім же порядку в стовпці матриці В.

А =; В = А ^Т=;

інакше кажучи, b_ji = a_ij.

Як наслідок з попередньої властивості (5) можна записати, що:

(ABC)^T = C ^T B ^T A ^T,

за умови, що визначено добуток матриць АВС.

Приклад. Дано матриці А =, В =, С = і число a = 2. Знайти А ^Т В +a С.

A ^T =; A ^T B = × = =;

a C =; А ^Т В +a С = + =.

Приклад. Знайти добуток матриць А = і В =.

АВ = × =.

ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Приклад. Знайти добуток матриць А =, В =

АВ = × = =.

Визначники (детермінанти).

Визначення. Визначником квадратної матриці А = називається число, що може бути обчислене по елементах матриці по формулі:

det A =, де

М _{1 k} – детермінант матриці, отриманої з вихідної викреслюванням першого рядка й k -го стовпця. Варто звернути увагу на те, що визначники мають тільки квадратні матриці, тобто матриці, у яких число рядків дорівнює числу стовпців.

Попередня формула дозволяє обчислити визначник матриці за першим рядком, також справедлива формула обчислення визначника за першим стовпцем:

det A =

Загалом кажучи, визначник може обчислюватися за будь-яким рядком або стовпцем матриці, тобто справедлива формула:

det А =, i = 1,2,…, n...

Очевидно, що різні матриці можуть мати однакові визначники.

Визначник одиничної матриці дорівнює 1.

Для зазначеної матриці А число М _{1 k} називається додатковим мінором елемента матриці a _{1 k} . Таким чином, можна помітити, що кожний елемент матриці має свій додатковий мінор. Додаткові мінори існують тільки у квадратних матрицях.

Визначення. Додатковий мінор довільного елемента квадратної матриці a_ij дорівнює матриці, отримана з вихідної викреслюванням i -го рядка та j -го стовпця.

Властивість1. Важливою властивістю визначників є наступне співвідношення:

det A = det A ^T;

Властивість 2. det (A ± B) = det A ± det B.

Властивість 3. det (AB) = det A ×det B

Властивість 4. Якщо у квадратній матриці поміняти місцями які-небудь два рядки (або стовпці), то визначник матриці змінить знак, не змінившись за абсолютною величиною.

Властивість 5. При множенні стовпця (або рядка) матриці на число її визначник множиться на це число.

Визначення: Стовпці (рядки) матриці називаються лінійно залежними, якщо існує їхня лінійна комбінація, рівна нулю, що має нетривіальні (не рівні нулю) розв’язки.

Властивість 6. Якщо в матриці А рядки або стовпці лінійно залежні, то її визначник дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо матриця містить нульовий стовпець або нульовий рядок, то її визначник дорівнює нулю. (Дане твердження очевидно, тому що рахувати визначник можна саме за нульовим рядком або стовпцем.)

Властивість 8. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів однієї з його рядків(стовпця) додати(відняти) елементи іншого рядка(стовпця), помножені на яке-небудь число, не рівне нулю.

Властивість 9. Якщо для елементів якого-небудь рядка або стовпця матриці вірне співвідношення: d = d₁ ± d₂, e = e₁ ± e₂, f = f₁ ± f₂, то вірно:

Приклад. Обчислити визначник матриці А =

= –5 + 18 + 6 = 19.

Приклад:. Дано матриці А =, В =. Знайти det (AB).

1-й спосіб: det A = 4 – 6 = –2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A ×det B = –26.

2- й спосіб: AB =, det (AB) = 7×18 – 8×19 = 126 –

– 152 = – 26.

Дата добавления: 2014-01-07