Методы ажалтаа основной тенденции развития в рядах динамики

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления.

В некоторых случаях закономерность изменения явления, общая тенденция его развития явно и отчетливо отражается уровнями динамического ряда (уровни на изучаемом периоде непрерывно растут или непрерывно снижаются).

Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, в которых уровни рада претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают), и общая тенденция развития неясна.

На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различ­ных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д. Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

Рассмотрим применение метода укрупнения интервалов на ежемесячных данных о выпуске продукции на предприятии в 1996 г. (табл. 7.7)

Таблица 7.7

Объем производства продукции предприятия (по месяцам) в сопоставимых ценах, млрд. руб.

Месяц	Объем производства	Месяц	Объем производства
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь	5,1 5,4 5,2.5,3 5,6 5,8	Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	5,6 5,9 6,1 6,0 5,9 6,2

Различные направления изменений уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции производства. Если соответствующие месячные уровни объединить в квартальные и вычислить среднемесячный выпуск продукции по кварталам (табл. 7.8), т.е. укрупнить интервалы, то решение задачи упрощается.

Таблица 7.8 Объем производства продукции предприятия (по кварталам)

в сопоставимых ценах, млрд. руб.

Квартал	За квартал	В среднем за месяц
т К III IV	15,7 16,7 17,6 18,1	5,23 5,57 5,87 6,03

После укрупнения интервалов основная тенденция роста производства стала очевидной:

5,23 < 5,57 < 5,87 < 6,03 млрд. руб.

Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящей (подвижной) средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из опре­деленного числа, обычно нечетного (3, 5, 7 и т.д.), первых по счету уровней ряда, затем — из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее — начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы "скользит" по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Расчет скользящей средней по данным об урожайности зерновых культур приведен в табл. 7.9

Таблица 7.9

Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га

Год	Фактический уровень	Скользящая средняя
	урожайности	трехлетняя	пятилетняя
	15,4	_
	14,0	15,4 + 14.0 + 17,6	_ ■.
	17,0	.. ■ з ■ 14,0 + 17,6 + 15,4	14,7
	15,0 15,4	3 15,7 17,6 + 15,4 + 10,9 1ЛС	Г5Д
	10,9	14,6	15,2
	17,5	14,5	17,1
	15,0	17,0	16,8
!993	18,5	■ и://	17,6
	14,2	15,9	-
	14,9	—	_
Итога	: £>' = 153,4

Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям — на два члена в начале и конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из-за случайных причин и четче, в виде некоторой плавной линии на графике (рис. 7.4), выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно сущест­вующих причин и условий развития.

Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следовательно, потеря информации.

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается кик функция времени:

где y_t — уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени /.

Определение теоретических (расчетных) уровней y_t производится на основе так называемой адекватной математиче­ской модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

Например, простейшими моделями (формулами), выра­жающими тенденцию развития, являются:

линейная функция — прямая y_t = а₀ + a_xt. где uq, ai~ параметры уравнения; / — время; показательная функция y_t = ща\;

степенная функция — кривая второго порядка (парабола) y_t =a_o+ a_xt + a₂t².

В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения при­нимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпиричеекми уровнями:

(7.17)

где y_t — выравненные (расчетные) уровни; у,- — фактические уровни.

Параметры уравнения а_г, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных урав­нений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней y_t плавно изменяющимися уровнями y_t, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической про­грессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой: y_t = а₀ + atf. Параметры а$, а\ согласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальныхуравнений, полученном путем алгебраического преобразования

условия (7.17):

(7.1а)

где у — фактические (эмпирические) уровни ряда; t — время (порядковый номер периода или момента времени).

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (*=0) принять центральный интервал (момент).

При четном числе уровней (например, 6), значения t — условного обозначения времени будут такими (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):

1990 г. 1991г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.

.;':■■,".-.■ ■■■■-5 ■ '. —3.. • —1 +1 • +3 +5

При нечетном числе уровней (например, 7) значения ус­танавливаются по-другому:

1989г. 1990 г 1991 г 1992г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.

-3,. -2 ' -1 0 +1 ' +2 +3

В обоих Случаях ^ t = 0, так что система нормальных уравнений (7.18) принимает вид:

(7.19) (7.20) • (7.21)

Уу

Из первого уравнения ад = ——

Дата добавления: 2014-01-07