![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Симметрический оператор, его матрица, собственные значения и собственные векторы
Определение 1: Линейное отображение векторного пространства 1) Определение 2: Линейный оператор
То есть, символ симметрического оператора при скалярном умножении можно перенести одного вектора на другой.
Теорема 1: симметрический линейный оператор в любом ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу.
□ Пусть симметрический линейный оператор Так как векторы
Аналогично получаем
Из равенств (2), (3), (4) следует, что
Теорема 2(обратная): если линейный оператор
□ Пусть в ортонормированном базисе Тогда для
и Из равенств (5), (6), (7) следует, что
Теорема 3: характеристическое уравнение
Следствие: любой симметрический линейный оператор имеет хотя бы одно собственное значение.
Замечание 2: согласно основной теореме алгебры любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень. В частности, характеристическое уравнение симметрического линейного оператора обладает этим свойством. По теореме 3 это число
Теорема 4: собственные векторы симметрического линейного оператора, соответствующие его различным собственным значениям, ортогональны между собой.
□ Пусть
Так как
Теорема 5: для любого симметрического линейного оператора евклидова векторного пространства □ [5], с. 99-100, Т.2 (метод математической индукции).
Следствие: матрица симметрического линейного оператора с помощью соответствующего выбора ортонормированного базиса может быть приведена к диагональному виду; этот базис состоит из нормированных собственных векторов данного оператора.
§23. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. 1º. Теорема о возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду.
В §18 было доказано, что любая квадратичная форма может быть приведена с помощью линейного преобразования переменных к каноническому виду и нормальному видам. Это преобразование рассматривалось как переход к новому базису в векторном пространстве. В евклидовом пространстве рассматриваются лишь ортонормированные базисы, поэтому мы теперь будем пользоваться линейными преобразованиями переменных с ортогональными матрицами, то есть ортогональными преобразованиями переменных. Оказывается, что привести квадратичную форму к каноническому виду возможно с помощью только ортогональных преобразований переменных. Переход к нормальному же виду уже не всегда возможен.
Лемма: если квадратичная форма и линейный оператор имеют одну и ту же матрицу относительно какого-нибудь ортонормированного базиса, то они будут иметь одинаковые матрицы и относительно любого другого ортонормированного базиса. □ Рассмотрим квадратичную форму:
и линейный оператор с одинаковыми матрицами:
Тогда квадратичная форма (1) примет вид:
Перейдем к новому ортонормированному базису. Пусть в этом базисе
Используя формулы (4), найдем скалярное произведение
Отсюда из формулы (3) получаем:
Сравнивая равенства (4) и (5) видим, что квадратичная форма и линейный оператор имеют и в новом базисе одну и ту же матрицу с элементами
Теорема: любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных.
□ Пусть квадратичная форма (1) и линейный оператор имеют в ортонормированном базисе
По следствию из теоремы (5) §22 существует ортонормированный базис
Здесь каждый корень характеристического уравнения взят столько раз, какова его кратность. Векторы старого и нового базисов связаны ортогональной матрицей (
Матрица преобразования
2º. Способ приведения квадратичной формы к каноническому виду: 1) Записываем и решаем характеристическое уравнение (6); его корни 2) Находим новый ортонормированный базис
a) Пусть
Находим из нее координаты b) Пусть теперь
Аналогичные вычисления выполним для каждого из корней характеристического уравнения (6).Так как сумма кратностей всех корней равна 3) С помощью транспонирования матрицы перехода от базиса
где 3º. Ортогональные инварианты. Подвергнем переменные в квадратичной форме f ортогональному преобразованию и будем рассматривать его как переход к новому ортонормированному базису евклидова векторного пространства Пример:
Выражения
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 2244; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |