Местонахождение электрона в атоме в 1S состоянии

Сферич. Симметрич. Случай. (1S сост)

(1/r²)(∂/∂r)(r²∂ ψ /∂r) + (1/r²Sinθ)(Sinθ∂ ψ /∂θ) + (1/r²Sinθ)(∂² ψ /∂ φ ²) + (2m /ħ²)(E + ke²/r) ψ =0

ψ (r,θ,φ)

∂ ψ /∂ θ = 0 ∂ ψ /∂ φ = 0

(1/r²)(∂/∂r)(r²∂ ψ /∂r) + (2m /ħ²)(E + ke²/r) ψ =0

(1/r²) 2r (∂ ψ /∂r) (1/r²) r²∂ ²ψ /∂r² + (2m /ħ²)(E + ke²/r) ψ =0

∂ ²ψ /∂r² + (2/r) (∂ ψ /∂r) + (2m /ħ²)(E + ke²/r) ψ =0

ψ = e ^-ar

∂ ψ /∂r = -a ψ

∂ ²ψ /∂r² = a² ψ

a² ψ – (2a ψ/r) + (2m /ħ²)(E + ke²/r) ψ =0

a² – (2a /r) + (2m /ħ²)(E + ke²/r) =0

(a² + 2mE /ħ²) + (2/r)(kme²/ћ² -a) =0

kme²/ћ² -a =0

a = kme²/ћ² a=1/r

ψ = e ^-2/r

a² + 2mE /ħ² =0

E= - ħ²a²/2m = - ħ²k²m²e⁴/2mћ⁴ = - k²m²e⁴/2ћ²

ψ = Ae ^-r/r1 A – нормирующий множитель

(интеграл от 0 до бескон.)(A²e ^-2r/r1)dV = (интеграл от 0 до бескон.)(A²e ^-2r/r14Pir²)dr = 1

dV=4Pir²dr

4Pi A²(интеграл от 0 до бескон.)(r² e ^-2r/r1) = 1

A² Pir₁³=1

A = sqr (1/ Pir₁³)

ψ = e ^-r/r1/ sqr (Pir₁³)

dW = | ψ ²|dV

dW = (e ^-2r/r1/ (Pir₁³)) 4Pir²dr – вероятность обнаружить электрон в dr

Радиальная плотность вероятности:

ρ(r) = dW/dr = (1/ Pir₁³) (e ^-2r/r1) 4Pir²

r стремится к 0, ρ(r) стремится к 0

r стремится к бесконечности, ρ(r) стремится к 0

∂ ρ(r) /∂ r = 0

(4/ r₁³)((-2/ r₁) (e ^-2r/r1)r² + 2r(e ^-2r/r1))=0

(4/ r₁³)(2 r e ^-2r/r1)(1 – r/r₁) = 0

1 – r/r₁ = 0

r = r₁ – максимальный радиус плотности вероятности

Дата добавления: 2014-01-07