Теорема 14.1.5. Если ряд сходится, предел его общего члена при n®¥ равен нулю, т.е. (14.1.4)
Доказательство. Так как ряд сходится, то и . Тогда , но , откуда
Следствие. Если , ряд расходится.
Пример Исследовать на сходимость ряд
, ряд расходится.
Замечание. Следует иметь в виду, что утверждение, обратное необходимому признаку сходимости неверно. Признак недостаточен для сходимости ряда. Из условия не следует, что ряд сходится.
сходится
ряд сходится
В качестве примера рассмотрим гармонический ряд .
Как видим, , т.е. выполнен необходимый признак сходимости. Покажем, что при этом гармонический ряд расходится. Рассмотрим частичные суммы Sn и S2n
(14.5)
Предположим, гармонический ряд сходится.
В этом случае и и , что противоречит равенству (14.5). Следовательно, предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т.е. гармонический ряд расходится.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление