Подстановка

Задача 2

Прогрев полубесконечного тела с граничным условием первого рода

В момент времени t=0, температура на поверхности мгновенно повышается до температуры T_П. Найти зависимость T(x,t).

Запишем уравнение Фурье в форме

Уравнение Фурье:

Начальные условия:

Граничные условия:

Подстановка

- общее решение

- интеграл ошибок Гаусса

Математическая модель затвердевания эвтектических сплавов.

В жидкой фазе:

Начальные условия:

Граничные условия:

i =1,3

Это дифференциальное уравнение затвердевания Стефана

Условно все формы разделяются на 2 группы:

1. песчаные;

2. кокиль.

Песчаные формы:

1. мы не учитываем слой краски (т.к. ее свойства близки к свойствам формы, поэтому мы ей пренебрегаем)

2. прогреваемая:

Кокиль:

1. нагреваемая

2. толщина кокильной краски много меньше толщины кокиля.

Когда толщина мала, мы можем заменить функцией линейного закона.

- коэффициент тепловой проводимости кокильной краски.

Твердый раствор в кокиле.

Твердый раствор в песчаной форме.

Упрощение математической модели для литья в песчаные формы.

Температура на границе контакта постоянна, следовательно это полубесконечное тело.

На границе - равенство плотности тепловых потоков

, где

- температура перепада по сечению отливки;

- интенсивный фактор;

- экстенсивный фактор; температурный перепад по сечению формы.

Цель задачи - сравнить температурный перепад.

, то температурным перепадом по сечению отливки можно пренебречь по сравнению с температурным перепадом по сечению формы.

1 этап- снятие перегрева;

2 этап- затвердевание твердого раствора;

3 этап- затвердевание эвтектики.

Оценка температурного перепада по сечению формы по сравнению с температурным перепадом по сечению отливки.

Пренебречь температурным перепадом Т по сечению формы нельзя.

Если , то эта модель весьма малой интенсивности охлаждения.

Упрощение математической модели затвердевания в кокиль.

Т_Ц- температура в центре

Т_П- температура поверхности

Т_К- температура в кокиле на поверхности

Граничные условия:

, следовательно

Очень приближенно аппроксимируем распределение температур в отливке прямой (----).

Тогда ;

;

;

- критерий Био

- коэффициент теплопроводности (для Al сплавов ≈100)

- половина толщины (≈5мм)

Следовательно - интенсивный фактор;

- температурный напор на границе контакта (экстенсивный фактор).

Температурным перепадом по сечению отливки можно пренебречь по сравнению с температурным напором на границе «отливка-краска».

Для отливки можно использовать модель малой интенсивности охлаждения.

Модель малой интенсивности охлаждения- температура постоянна по сечению, но меняется во времени.

Определение интенсивности нагрева кокиля.

Граничные условия:

, следовательно

Тогда , следовательно, для нагрева можно использовать модель малой интенсивности нагрева.

Время цикла- время от окончания заливки до выбивки.

Упрощение дифференциального уравнения теплопроводности Фурье для модели малой интенсивности охлаждения

. Умножим обе части уравнения на -1 и получим

Принимаем, что следовательно можно записать полную производную:

. Умножим обе части уравнения на dx и получим

q₀ - принимаем равным 0, т.к. T=T_max. В итоге: .

Для кокиля

Определение времени снятия перегрева для расплава, залитого в кокиль.

Начальные условия: t=0, T₁(0)=T_ЗАЛ

Граничных условий нет, т.к. температура от границ не зависит!!!

Конечное условие: t₁. Тогда

Температура расплава на границе

Откуда время снятия перегрева:

Из уравнения (*):

Тогда

«-»: достаточно сложная формула.

Обычно

После этого, экспоненту можно разложить в ряд и взять на рассмотрение только 2 первых числа.

Тогда

Определение времени снятия перегрева при условии, что температура остается постоянной и начальном условии

Сравнивая (**) и (***), получаем, что

Определение времени снятия перегрева для расплава, залитого в песчаную форму.

«Отливка-форма»- контакт 2 полубесконечных тел. На границе контакта Т= const поэтому можно взять решение q_l0 из задачи о прогреве полубесконечных тел:

Для песчаной формы более точное значение получается, если брать нижний предел ():

Начальное условие:

Конечное условие:

ПОЛУЧЕННЫЕ ФОРМУЛЫ СПРАВЕДЛИВЫ ДЛЯ ОТЛИВОК В ФОРМЕ ПЛИТЫ

Для оперирования с отливками любой формы Хворинов ввел понятие приведенного размера:

, где - площадь охлаждаемой поверхности.

Плита:

. Следовательно во всех вышеперечисленных формулах можно заменить: , т.е. мы приводим любую фасонную отливку к плите.

Выбор температуры заливки

При выборе следует руководствоваться правилами:

- чтобы в момент окончания заливки расплав не начинал затвердевать;

- при этом мы хотим залить металл с минимальным перегревом.

Расчет потерь перегрева при заполнении расплавом литейной формы

- гидравлическая высота;

- скоростной напор;

h - нивелирная высота;

- пьезометрическая высота.

Уравнение Бернулли:

, где

Расчет потерь перегрева при заполнении горизонтального канала кокиля

L- длина кокиля

Начальное условие:

- приведенный размер горизонтально канала.

В исходном уравнении температура зависит от времени, а нам нужна зависимость от координаты. Заменим: , где , тогда

Начальное условие: z=0, соответственно

Расчет потерь перегрева при заполнении горизонтального канала в песчаную форму

Начальное условие:

Заменим: , где , тогда

Расчет потерь перегрева при заполнении вертикального канала кокиля

Начальное условие:

Заменим: , где , тогда

Домножим на

- средняя скорость.

Расчет потерь перегрева при заполнении вертикального канала песчаной формы

Начальное условие: Заменим: , где , тогда

Домножим на сумму корней под корнем:

Расчет потерь перегрева при заполнении наклонного канала кокиля.

Начальное условие:

Заменим: , где , тогда

Для вертикального канала формулы совпадают

Для горизонтального канала получаем неопределенность вида по правилу Лопиталя:

Расчет потерь перегрева при заполнении наклонного канала песчаной формы.

Для вертикального канала формулы совпадают

Для горизонтального канала получаем неопределенность вида по правилу Лопиталя:

Заполнение горизонтального ступенчатого канала при литье в кокиль.

Допущение: каналы заполнены.

Начальное условие:

В исходном уравнении температура зависит от времени, а нам нужна зависимость от координаты. Заменим: , где , тогда

- на носике потока

!!!!!- справедлива только для самого узкого канала, а скорости во всех стальных каналах находятся по равенству расходов

Начальное условие: - момент окончания заполнения первого канала

Заменим: , тогда

- потери перегрева во втором канале.

Переносим начало координат.

!!! При заполнении каналов в кокиле начало координат можно переносить. Результат не изменится.

Вывод: моно переносить начало координат.

Заполнение горизонтального ступенчатого канала при литье в песчаную форму.

Начальное условие:

Заменим: , тогда ;

;

где - скорость в вертикальном канале.

Во втором канале:

Начальное условие: - момент окончания заполнения первого канала

Заменим: , тогда ;

Вывод: нельзя переносить начало координат.

Чем длиннее путь, тем меньше потери.

при потери уменьшаются.

Вертикальный канал в кокиле.

Н.У.

2 канал:

Пределы интегрирования от L₁ до L₁₊ L₂

Вертикальный канал в ПФ.

Н.У.

Пределы интегрирования для 2-го канала:

Горизонтальный канал в комбинированной форме.

Н.У.

Вертикальный канал в комбинированной форме.

Расчет потери для наклонного канала в комбинированной форме.

Потери в ПФ с песчаным стержнем.

Реальный случай

Разбивается на 4 канала.

В канале 2 и 3 учитывается суммарная площадь поперечного сечения.

Анализ потерь перегрева при заполнении отливки в кокиле.

Для 1-го канала:

Для коллектора:

Для питателя:

Для отливки:

или ()

Т.к расход одинаковый, то:

Уменьшать и где .

- тепорпроводность краски;

- толщина краски;

При литье в металлический формы используют расширяющиеся литниковые системы.

Ø Длины каналов надо уменьшать;

Ø Использовать щелевые и ярусные питатели;

Ø Увеличивать ;

Ø Увеличивать приведенные размеры

!!! Каналы надо стремиться делать цилиндрическими.

Возможный вариант - литье выжиманием:

Получение тонкостенных отливок.

Также желательно повышать

Использование центробежной заливки:

Способ выжиманием также снижает потери.

Анализ потерь перегрева при заполнении отливки в ПФ.

Ø Уменьшают , , , , , , .

Ø Желательно заливать в сухие песчаные формы.

Ø Используют в основном сужающиеся литниковые системы.

Ø Используют также разветвленную литниково-питающую систему.

Ø Увеличивают R засчет извлечения формы (сфера,цилиндр), а не засчет изменения массы.

Эвтектикосодержащий сплав.

- для кокиля

- для ПФ

Затвердевание твердого раствора

(модель малой интенсивности охлаждения).

- распределение тепловой кристаллизации.

- относительное кол-во твердой фазы от 0 до 1.

- эффективная удельная теплоемкость.

Это уравнение для двухфазной зоны модели малой интенсивности охлаждения.

- для кокиля;

- для ПФ;

Расчет для кокиля:

Н.У.

Н.У.

- время затвердевания твердого раствора в кокиле.

Твердый раствор в ПФ:

Время затвердевания эвтектики.

В модели малой интенсивности перепадом температур, но физически этот перепад существует как следствие последовательного затвердевания.

Кокиль

ПФ

Г.у:

Время затвердевания эвтектики в кокиле.

В общем случае заменяем на .

Время затвердевания эвтектики в ПФ.

Расчет времени охлаждения отливки до

Н.У.

Н.У.

Н.У.

Н.У.

Пример расчета заполнения и затвердевания отливки.

ПФ

Равностенная отливка.

1. Время заполнения.

, где G – масса отливки, A,m – коэффициенты.

A = 1,6…5,6 Принимаем: A = 3,8

m = 0,3…0,5 m = 0,4

G=420кг. Следовательно:

2. Определим площадь узкого места.

Сч 18 при

Сч 18 – эвтектический расплав.

,,

,,.

- удельная теплота эвтектики.

, .

Потерями перегрева в литниковой системе пренебрегаем.

2 канала: дно и заполнение вверх.

Заполнение горизонтального канала (дно).

Потери при заполнении вертикального канала:

- площадь продольных каналов.

- площадь поперечных каналов.

Выбираем max :

Для обычной стенки получилось бы:

считается для среднего приведенного размера.

считается как будто форма и отливка – единое целое.

(формы)

Песчаный наполнитель.

Влияние скорости затвердевания отливки на ее структуру.

Структурная диаграмма Клингенштейна.

П – перлит;

Ц – отбел (белый чугун);

Ц – карбит Fe ()

Метастабильная диаграмма затвердевания при малых скоростях затвердевания.

Структурная диаграмма Ершовича.

Когда считается углеродный эквивалент – то считается и 1/3 кремния ().

Структурная диаграмма Жукова.

Структурная диаграмма Ланда.

Структурная диаграмма для К_ф Дубинина.

Во всех диаграммах дают существенное количественное расхождение.

Расчет скорости затвердевания отливок.

- скорость охлаждения;

- отношение затвердевшей части ко всему объему отливки.

Продифференцируем это уравнение:

Делим обе части на

- эквивалентная скорость затвердевания отливки.

Получаем, что:

Структурная диаграмма Баландина.

- углеродный эквивалент.

Главное отличие – наличие в интервале . Получается одна и та же структура.

Дата добавления: 2014-01-07