Замечание. Канонические уравнения (1) понимаются как пропорции один или два из знаменателей могу быть равны нулю.

Канонические уравнения (1) понимаются как пропорции один или два из знаменателей могу быть равны нулю.

Пример.

Запишем уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси .

Имеем: Отсюда канонические уравнения искомой прямой имеют вид

.

Перейдем к выводу параметрических уравнений прямой.

Пусть некоторая прямая задана своими каноническими уравнениями:

Приравниваем дробь величине (некоторый параметр,

(2)

Параметрические уравнения (2) удобно использовать при решении различных задач, например, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью :

Запишем параметрические уравнения прямой :

P

L

A

Подставим правые части этих уравнений в уравнение плоскости , получим:

Отсюда точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты

Перейдем к составлению уравнения прямой, проходящей через две точки и :

В качестве направляющего вектора берём вектор Обозначим через текущую точку пространства. Точка M принадлежит искомой прямой тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

Тогда канонические уравнения прямой, проходящей через точки имеют вид:

		Уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки плоскости

(3)

Пример.

Запишем уравнения прямой, проходящей через точки и

Рассмотрим две непараллельные плоскости , определенные своими общими уравнениями (см. рисунок):

Непараллельные плоскости пересекаются вдоль прямой. Запишем уравнения плоскостей в систему:

Общие уравнения прямой

(4)

Уравнения (4) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Пусть известны общие уравнения прямой L (4). Как получить канонические уравнения этой прямой?

Сначала найдём координаты точки, лежащей на прямой L. Для этого подставим в систему (4), например, , найдём . Может случиться, что система (4) при не имеет решений, тогда подставим или , найдем недостающие координаты. Можно доказать, что обязательно хотя бы один из вариантов , , позволит найти недостающие координаты точки, принадлежащей обеим плоскостям. Фиксируем точку , .

Найдём направляющий вектор прямой L. Этот вектор перпендикулярен векторам , следовательно, в качестве вектора можем взять векторное произведение векторов :

Далее записываем канонические уравнения прямой L: .

Пример. Прямая L задана общими уравнениями

Выведем канонические уравнения прямой L.

Пусть Тогда решаем систему

найдем Получили:

Найдем направляющий вектор:

Окончательный ответ:

Дата добавления: 2014-01-07