Рекуррентная формула

Лекция № 9 (занятие № 16)

Тема: Метод итераций численного решения уравнений.

Будем рассматривать уравнение вида

х=g(х)

с корнем t, отделенным на отрезке [а; b]. Функция g предполагается непрерывной на этом отрезке. Уравнение можно получить из уравнения f(x)=0: путем эквивалентных преобразований.

Метод простой итерации является одним из наиболее удобных и эффективных методов приближенного решения уравнений. Как видно из его названия, он предполагает уточнение корня с использованием итерационной последовательности.

Рекуррентная формула определяется на основе самого уравнения. Если известен какой-либо член последовательности х_п (например, х₀ Î [а; b]), то за х_п+1 можно взять g (х_п). Соотношение

x_n+1=g(x_n) (п = 0,1,2,...)

и является искомой рекуррентной формулой.

Если существует конечный предел х_п = z и функция g непрерывна в точке z, переходом к пределу получим

z= g(z),

т.е. число z является корнем уравнения. Если zÎ[а; b], в силу единственности корня на отрезке [a; b] z совпадает с t.

Вычисления по формуле проиллюстрированы на рисунке.

Построим графики функций из левой и правой частей уравнения х=g(х), т.е. линии у=х и у=g(х). Они должны пересекаться в точке с абсциссой t Взяв некоторое число х₀, вычислим g (х₀) и получим на кривой у=g(х) точку А_о. Линия проекции этой точки на ось Оу пере сечет прямую у=х в точке В₁. Проекция В₁ на ось Ох дает х₁ (х₁=g(х₀)). Вычислив g (х₁) и спроецировав точку A₁, графика функции g на ось Оу, найдем точку В₂ на прямой у =x и ее проекцию х₂ на ось Ох (х₂ =g(х ₁)) и т.д.

Возникает вопрос: при каких условиях итерационная последовательность сходится к корню t, т.е. когда она является последовательностью приближений?

Дата добавления: 2014-01-07