Умовний екстремум

Умовним екстремумом функції називається екстремум цієї функції, який досягається за умови, що змінні х та у пов’язані рівнянням (рівняння зв’язку).

Відшукання умовного екстремуму можна звести до дослідження на звичайний екстремум так званої функції Лагранжа , де - невизначений постійний множник (множник Лагранжа).

Необхідні умови екстремуму функції Лагранжа мають вигляд

Розв’язуючи цю систему рівнянь, знаходимо координати стаціонарної точки М ₀(х ₀, у ₀,).

В кожній стаціонарній точці необхідно перевірити виконання достатньої умови екстремуму: якщо в точці М ₀(х ₀, у ₀,) визначник

,

тоді точка М ₀(х ₀, у ₀,) є точкою максимуму і , а якщо , тоді точка М ₀(х ₀, у ₀,) є точкою мінімуму і .

Приклад 2. Знайти екстремум функції z=xy при умові, що х та у пов’язані рівнянням

Розглянемо функцію Лагранжа . Маємо З системи рівнянь (необхідні умови екстремуму)

знаходимо

Отже, стаціонарними точками будуть М ₁(-1,-1), М ₂(-1,1), М ₃(1,-1), М ₄(1,1).

Для перевірки достатніх умов екстремуму знайдемо відповідні частинні похідні і запишемо визначник

.

Обчислимо значення визначника у кожній стаціонарній точці та використаємо достатні умови.

Оскільки , то точка М ₁ є точкою максимуму.

Оскільки , то точка М ₂ є точкою мінімуму.

Оскільки , то точка М ₃ є точкою мінімуму.

Оскільки , то точка М ₄ є точкою максимуму.

Знайдемо екстремуми функції

Дата добавления: 2014-01-15