Формула интегрирования по частям

Пусть u (x) и v (x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда

(uv) ¢ = u¢v + v¢u

Отсюда следует

ò (uv) ¢dx = ò (u¢v + v¢u) dx = ò u¢v dx + ò v¢u dx

или

ò uv¢ dx = uv – ò u¢v dx.

Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям:

ò u (x) dv (x) = u (x) v (x) – ò v (x) du (x)

Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.

Примеры. 1. I = ò x cos x dx. Пусть u = x; dv = cos x dx, тогда du = dx; v = sin x. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается:

I = x sin x – ò sin x dx = x sin x + cos x + C.

2. I = ò (x² – 3 x + 2) e^5xdx. Пусть x² – 3 x + 2 = u; e^5xdx = dv. Тогда
du = (2 x – 3) dx; .

.

К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая

2 x - 3 = u; e^5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2 dx; , и окончательно получаем:

.

3. ;

;

.

Дата добавления: 2014-01-20