Функциональные ряды. Перейдем к рядам, членами которых являются не числа, а функции от некоторого аргумента x

Перейдем к рядам, членами которых являются не числа, а функции от некоторого аргумента x. Именно:

Такой ряд называют функциональным. Предполагается, что функции определены на одной и той же области определения.

Ряд может при одних x сходиться, а при других x - расходиться.

Если при некотором x=x₀ ряд сходится, то такую точку называют точкой сходимости ряда. Совокупность (множество) точек сходимости образует область сходимости ряда. Итак, область U является областью сходимости, если в каждой точке U ряд сходится.

Пример. Функциональный ряд

сходится в области . При этот ряд расходится.

Для сходящегося ряда определена сумма S. Очевидно, она будет также зависеть от x, т.е. S=S(x):

в области сходимости.

Заметим, что S(x) может оказаться определенной не только в области сходимости ряда, но и в более широкой области. Например:

определена при любом

В общем случае S(x) определяется через частичные суммы. Имеем по определению в точке сходимости. Также в точке сходимости имеем для остатка

свойство .

Изучение свойств функционального ряда сводится, в общем случае, к решению вопроса: заданы свойства членов ряда . Какими будут свойства суммы?

Например, пусть в области сходимости U члены ряда являются непрерывными функциями. Можно ли гарантировать, что и сумма S(x) будет непрерывной в U функцией? Напомним, что если в конечной сумме слагаемые – непрерывные функции, то и сумма будет непрерывной. Возникает вопрос: переносится ли это свойство безоговорочно и на бесконечные суммы (ряды)? Примеры показывают, что нет.

Рассмотрим ряд

При x=0 ряд сходится и имеет суммой 0: S(0)=0. При x¹0 имеем геометрическую прогрессию, сумма S(x) которой равна:

Итак, S(0)=0, S(x)= 1. Сумма S(x) оказалась разрывной. Но все члены ряда

- непрерывные функции!

Итак, одной непрерывности членов ряда недостаточно для того, чтобы сумма ряда была определенной и непрерывной – как видим, она может быть разрывной.

Дополнительным условием, обеспечивающим непрерывность суммы, будет так называемое условие равномерной сходимости ряда.

Определение. Ряд равномерно сходится в некоторой области D, если для произвольного e > 0 найдется такой номер N, зависящий от e (N = N( e )), что выполняется неравенство для всех x Î D и для любого n>N( e ). Может случиться, что во всех точках области D ряд сходится, но остаток ряда не удовлетворяет написанному выше условию равномерной сходимости.

Рассмотрим предыдущий пример. При x=0, r_n(0)=0; при x¹0 имеем

Все r_n(x) при x ®0 стремятся к 1, и условие не может быть удовлетворено, если e <1.

Дата добавления: 2014-01-11