Основные положения теории вероятностей

Событие - качественный или количественный результат опыта, осуществляемого при определенных условиях [10]. Например, событие - попадание предела текучести стали в интервал от 240 до 260 МПа. Событие может быть случайным, достоверным или невозможным. Объективная математическая оценка возможности реализации случайного события - вероятность. Вероятность есть объективная мера возможности наступления события независимо от того, является ли оно массовым или нет. В жизни все (полуинтуитивно) применяют вероятностные оценки будущим событиям и весьма успешно.

Частота события А (статистическая вероятность). , где - число опытов, в которых наблюдается событие А; n - общее число опытов. Значения - случайны. , где - математическая вероятность, являющаяся достоверной величиной, т.е. вероятность того, что при n®¥ равна 1. . При , при .

События несовместны в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе. (Например, появление цифр от 1 до 6 на игральном кубике).

Случайные события совместны, если при данном испытании могут произойти два эти события.

Если события А и В несовместны, то вероятность появления или события А или события В: (1) или в общем виде (1').

В теории множеств (1) эквивалентна объединению множеств А и В (АÈВ), притом АÇВ=Æ.

Сумма вероятностей двух противоположных событий (2).

Событие А независимо от В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Если события А и В независимы (они совместны), то вероятность появления и события А и события В: (3), (3').

В урне два кубика – черный и белый и два шарика – черный и белый. Вероятность появления черного кубика равна произведению вероятностей появления черного цвета и кубика, т.е. 1/2×1/2=1/4. В теории множеств (3) эквивалентна пересечению множеств А и В (АÇВ).

По формуле (3) видно, например, что если событие А (появление максимальной ветровой нагрузки) и событие В (появление максимальной снеговой нагрузки) – независимы, то вероятность одновременного появления А и В (т.е. максимумов нагрузок) меньше вероятности появления одного из событий (максимумов нагрузки) . Это учитывается коэффициентом сочетаний y. Вероятность тем меньше, чем меньше и .

Формула (3¢) иллюстрируется последовательным соединением. Вероятность не разрушения последовательной системы: ,

где , i=1,3 – вероятности не разрушения i‑того элемента системы, – событие, состоящее в не разрушении i–того элемента системы.

Пример последовательного соединения: статически определимая система т.к. разрушение всей системы происходит при разрушении хотя бы одного из элементов, т.о. вероятность не разрушения всей системы меньше вероятности не разрушения любого ее отдельного элемента.

Формула (3¢) также иллюстрируется и параллельным соединением. Вероятность разрушения параллельной системы: , где – вероятности разрушения i–того элемента системы. Вероятность не разрушения параллельной системы: (5)

или в общем виде: (5').

Пример параллельного соединения: статически неопределимая система т.к. разрушение всей системы происходит при разрушении всех избыточных и еще одной связей. Т.о. вероятность не разрушения всей системы больше вероятности не разрушения любого ее отдельного элемента. Однако в действительности в статически неопределимой системе вероятности разрушения элементов системы не независимы, т.к. разрушение одного элемента из-за перераспределения усилий приводит к изменению вероятностей разрушения остальных элементов.

Например, при диаграмме Прандтля «условное» разрушение одного элемента статически неопределимой системы (т.е. напряжение в этом элементе при увеличении N остается постоянным и равным ) в меньшей степени приводит к перераспределению усилий, а следовательно и к изменению вероятностей разрушения. Т.о. статически неопределимая система со стержнями, работающими по диаграмме Прандтля, больше подходит в качестве примера для параллельной системы.

Если случайные события А и В совместны (и независимы), то вероятность появления или А или В: (6), (6¢).

(6) эквивалентна объединению множеств А и В, притом АÇВ¹Æ, т.е. AÈ(B\(AÇB))=BÈ(A\(AÇB)).

Если случайные события А и В зависимы (и совместны) и вероятности их появления Р(А) и Р(В), то вероятность совмещения событий А и В (произойдет и А и В): (7),

где – условная вероятность, т.е. вероятность появления события В, при условии, что событие А произошло. Аналогично (7¢).

Например, в урне два черных и два белых шара. Событие А – появление белого шара с первого раза, событие В - появление белого шара со второго раза. Вероятность появления белого шара два раза подряд: Р(АВ)=Р(А)Р(В\А)=1/2·1/3=1/6. Из формул (7) и (7¢) можно получить:

(8),

где – априорная вероятность появления события А, определенная до того как стала известна информация о событии В. – апостериорная вероятность появления события А, основанная на этой информации. А и В произошли, но мы определяем вероятность того, что перед В было А. Если А и В независимы, то и наоборот.

Дата добавления: 2014-10-15