Пример. Найти градиент функции u = x2 + 3xy2 – z3у в точке М(-2, 3, -1)

Найти градиент функции u = x² + 3xy² – z³у в точке М(-2, 3, -1).

Решение.

Находим частные производные данной функции:

Вычисляем значения этих производных в точке М(-2, 3, -1):

;

;

.

Окончательно получаем grad u(M) = (23; -35; -9)

Неопределенный интеграл

Непосредственное интегрирование

Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x), если F(x) дифференцируема и выполняется условие

.

Очевидно, что (F(x) + C)' = f(x), где С – любая константа.

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции. Неопределенный интеграл обозначается .

Основные правила интегрирования.

1.

где С – произвольная постоянная.

2.

где a – постоянная величина.

3.

4. Если

и x= φ(x) –дифференцируемая функция,

то

В частности, свойство линейной замены

Таблица простейших интегралов.

1. (n ≠ -1); .

2. .

3. (a ≠ 0).

4. (a ≠ 0).

5. (a ≠ 0).

6. (a > 0).

7. , a > 0 (a ≠ 1); .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

Примеры.

Найти интегралы:

1. .

2. .

3. .

Решение.

1. Преобразуем интеграл к интегралу табличного вида, используя свойства неопределенного интеграла и свойства степенных функций:

2. Преобразуем интеграл к интегралу табличного вида, используя свойства неопределенного интеграла и свойства степенных функций:

.

3. Для вычисления интеграла воспользуемся свойством линейной замены.

.

Интегрирование методом подстановки

Положим x = φ(x). Получим . Тогда

(11)

Применение формулы (11) называется интегрирование методом подстановки.

По существу, подведение под знак дифференциала есть одна из реализаций метода замены переменной.

Пример.

Найти интегралы:

1. .

2. .

3. .

Решение.

1. Найдем интеграл .

Сделаем замену переменной , тогда . Исходный интеграл примет вид:

.

Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция. Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции, найдем:

.

Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:

.

2. Найдем интеграл .

Положим . Отсюда . Следовательно,

.

3. Найдем интеграл .

Под знаком интеграла произведение двух функций и . Причём второй множитель является сложной функцией, где показательная функция – внешняя функция, а − внутренняя функция. Заметим, что производная внутренней функции

.

Тогда эту функцию обозначим за новую переменную .

Найдем .

Таким образом, получаем интеграл от новой переменной :

.

Интегрирование по частям

Если u=ψ(х), v=φ(х) − дифференцируемые функции, то справедлива формула

.

Пример.

Найти интегралы:

1. .

2. .

3. .

Решение.

1.Найдем интеграл .

Положим u = x, sinx dx = dv. Отсюда du = dx, v = -cosx.

Следовательно,

.

2. Найдем интеграл .

,

где

.

3. Найти интеграл .

Определенный интеграл

Нахождение определенного интеграла

Определенный интеграл является мощным средством исследования в математике, физике, экономике и т.д.

Понятие определенного интеграла тесно связано с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции. Под криволинейной трапецией понимается фигура ограниченная линиями , , и , где − есть непрерывная положительная функция, заданная на участке (рис. 11).

Разобьем отрезок на n частей точками деления:

. При этом .

Положим: .

В каждом из отрезков возьмем по точке, которые обозначим соответственно (рис. 11):

.

Составим интегральную сумму для функции на отрезке :

.

Если существует конечный предел от интегральной суммы , который не зависит от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается:

,

где − нижний предел интегрирования; − верхний предел интегрирования; − подынтегральная функция, интегрируемая на отрезке ; − переменная интегрирования.

Исходя из определения, можно сказать, что определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится к нулю.

Формула Ньютона-Лейбница:

.

Дата добавления: 2014-10-17