С. Непрерывность вещественных чисел

В. Сравнение вещественных чисел

Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех соотношений: а = b (а равно b), а > b (а больше b) или а < b (а меньше b). Отношение равенства обладает свойством транзитивности: если а = b и b = с, то а = с.

Отношение "больше" обладает следующими свойствами.

8. Если а > b и b > с, то а > с.

9. Если а > b, то а + с > b + с.

10. Если а > 0 и b > 0, тоа b > 0

Вместо соотношения а > b употребляют также b < а. Запись а ≥ b (b ≤ а) означает, что либо а = b, либо a > b. Соотношения со знаками >, <, ≥ и ≤ называютcя неравенствами, причем соотношения типа 8 < 10 —строгими неравенствами.

11. Любое вещественное число можно приблизить рацио­нальными числами с произвольной точностью.

12. Пусть Х и Y — два множества вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел и выполняется неравенство х ≤ у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для всех х и у выполняются нера­венства х ≤ с ≤ у.

Отметим здесь, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных (действительных) чисел, но не обладает множество, состоящее только из рациональных чисел.

Таким образом, вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойства­ми А-С. Такое определение, из которого выводятся ос­тальные свойства, называется аксиоматическим, а сами свойства А-С — аксиомами вещественных чисел.

Дата добавления: 2014-10-15