Определение вероятности

Числовые характеристики случайных величин.

Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин.

Полная вероятность. Формула Байеса.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Определение вероятности.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В основе теории вероятностей лежит понятие случайного эксперимента. Случайный эксперимент (опыт, испытание, наблюдение) есть процесс, при котором возможны различные исходы, так что заранее нельзя предсказать, каков будет результат. Нас будет интересовать множество возможных, взаимно-исключающих друг друга исходов эксперимента. Это множество называют пространством элементарных событий и обозначают .

Рассмотрим однократное бросание игральной кости. В этом эксперименте возможны следующие исходы: появление единицы или двойки, или тройки и так далее. Так как они взаимно исключают друг друга, то множество имеет вид:

.

Любое подмножество множества называют событием. Событие происходит тогда и только тогда, когда происходит один из исходов, образующих это событие.

Так как множество есть подмножество , то является событием. Событие можно определить словесно:

- “появление чётного числа”.

Множество и пустое множество являются событиями. Событие происходит всегда. Его называют достоверным. Пустое множество называют невозможным событием. Оно никогда не происходит.

Пусть и события. Объединение называют суммой событий . Событие происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий или . Пересечение называют произведением событий . Событие происходит тогда и только тогда, когда происходит одновременно событие и .

Пусть при однократном бросании игральной кости - “появление чётного числа”, - “появление числа кратного трём”. Тогда , .

События и называют несовместными, если невозможное событие.

Дополнение называют противоположным событием к событию и обозначают . Событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие . События и несовместные.

Предположим, что один и тот же эксперимент можно повторить достаточное число раз. Пусть при испытаниях событие появилось раз. Число называют частотой появления события . Отношение - относительной частотой появления события . Результаты наблюдений обычно таковы, что при увеличении числа испытаний относительная частота приближается к некоторому числу. Это число является вероятностью события и обозначается .

Желательно вероятность события определять из условий испытаний.

Пусть пространство элементарных событий конечно:

.

Будем считать, что известны. Тогда вероятность события равна:

.

Если , то , где - число исходов, приводящих к событию .

Отметим основные свойства вероятности.

а) .

б) .

в) , где - невозможное событие.

г) .

Задача 1. Из урны, в которой находится 4 белых, 9 чёрных и 7 красных шаров, наугад вынимают один шар. Какова вероятность появления белого шара?

Решение.

Рассмотрим множество всех исходов испытания:

,

где - -ый белый шар, - -ый чёрный шар, - -ый красный шар.

Число всех исходов равно 20, т.е. .

Пусть событие - появление белого шара. Рассмотрим множество исходов, благоприятствующих появлению события :

.

Число благоприятствующих исходов равно 4, т.е. .

Тогда

.

Задача 2. Игральный кубик бросают два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной 8?

Решение.

Рассмотрим множество всех исходов испытания:

.

Всего исходов .

Пусть событие - сумма выпавших очков равна 8. Рассмотрим множество исходов, благоприятствующих появлению события :

.

Всего благоприятствующих исходов .

Тогда

.

Дата добавления: 2014-10-15