Проверка статистических гипотез. Выборку измерений часто используют для проверки гипотез относительно либо вида распределения генеральной совокупности

Выборку измерений часто используют для проверки гипотез относительно либо вида распределения генеральной совокупности, либо характеристик уже известного распределения.

Выдвигаемую и проверяемую гипотезу называют нулевой и обозначают её через . Наряду с гипотезой рассматривают также одну из конкурирующих гипотез . Например, если проверяется гипотеза о равенстве характеристики некоторому заданному значению , то есть , то в качестве конкурирующей гипотезы можно рассмотреть гипотезу .

Выдвинутая гипотеза может соответствовать истине или нет. При проверке гипотезыпо результатам выборки могут быть допущены ошибки двух родов: 1) ошибка первого рода - правильная гипотеза, но принимаем ; 2) ошибка второго рода - правильная гипотеза, но принимаем . Вероятность совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости . Обычно берут .

Правило, по которому проверяется гипотеза, называется критерием. Критерий проверки гипотезы реализуется следующим образом: 1) строится некоторая случайная величина , которая имеет известный закон распределения при условии правильности гипотезы ; 2) по заданному уровню значимости находят такую точку , что ; 3) если значение , то принимается гипотеза.

Множество называется областью принятия гипотезы. Множество называется критической областью. Точка , разделяющая эти области, называются критической точкой.

Для проверки гипотезы относительно вида распределения генеральной совокупности часто используют критерий Пирсона (хи-квадрат критерий).

Пусть дана выборка случайной величины объёма . По этой выборке составлен интервальный вариационный ряд:

интервалы				…
				…

Если случайная величина с известной плотностью распределения, то можно найти вероятности . Проверим гипотезу , где и .

Теорема Пирсона. Если гипотеза правильная, то случайная величина имеет распределение Пирсона с степенью свободы, то есть плотность распределения имеет вид .

Для распределения Пирсона существуют таблицы. По заданному уровню значимости можно определить критическую точку , что .

Если , то принимаем гипотезу .

Задача 11. Дана выборка случайной величины - срок службы электронных ламп:

13;14;15;15;13;8;14;17;15;16;16;14;16;14;11;16;15;16;14;18;11;13;18;12;17;14;16;13;

15;16;8;14;15;11;10;16;15;16;12;14;17;14;16;17;10;15;18;17;12;20;13;14;15;21;14;17;15;10;

18;17;15;16;17;12;19;8;14.

Проверить гипотезу - случайная величина имеет нормальный закон распределения.

Решение.

Построим интервальный вариационный ряд:

интервалы

Так как и , то вариационный ряд имеет вид:

интервалы

Пусть случайная величина с плотностью распределения .

Тогда , , , .

Составим случайную величину и найдём её значение:

.

Для уровня значимости по таблице Пирсона найдём критическую точку .

Так как , то принимаем гипотезу .

Дата добавления: 2014-10-15