Неопределенный интеграл

Рекомендации по решению типовых задач по интегральному исчислению

Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .

Например, является первообразной для функции , так как .

Если для данной функции найдена какая-нибудь одна первообразная , то любая другая первообразная для имеет вид , где .

Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

Знак – называется знаком интеграла; – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением.

Если является какой-либо первообразной для функции , то неопределенный интеграл равен , где .

Таблица основных интегралов

,

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где – некоторое число.

4. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. .

Пример 10.1. Найти интегралы: а) , б) , в) .

Решение.

а) .

б) .

в) .

Если не может быть вычислен непосредственно по формулам таблицы основных неопределенных интегралов, то во многих случаях введение новой переменной позволяет преобразовать подынтегральное выражение к такому виду, интегрирование которого можно провести либо по таблице, либо известным приемом.

Независимую переменную заменим по формуле , где – дифференцируемая функция. Затем определим и .

Полученная формула носит название формулы замены переменной (подстановки) в неопределенном интеграле.

Пример 10.2. Найти интегралы: а) , б) , в) .

Решение.

а) Пусть , , , тогда .

б) Пусть , , , тогда .

в) Пусть , , , тогда .

Интегрирование по частям называется нахождение интеграла по формуле , где , – непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью этой формулы нахождение интеграла сводиться к отысканию другого интеграла , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще или может быть найден.

Пример 10.3. Найти интегралы: а) , б)

Решение.

а) Пусть , , , , тогда .

б) Пусть , , , , тогда . Пусть , , , , тогда . Итак, .

Дата добавления: 2014-11-25