С. Г. Дробязко, В. С. Козлов 3 страница

б) относительная пропускная способность:

Q = 1 – p₅ = 1 - 062 0,938

(следовательно, вероятность обслуживания вновь поступив­шей заявки равна 0,938);

в) вероятность отказа: P_отк = p₅ = 0,062;

г) среднее число занятых каналов:

= 2,4.0,938 2,251

(следовательно, диспетчерская служба в среднем имеет поло­вину линии связи постоянно занятыми).

Поскольку вероятность отказа данной диспетчерской служ­бы p_отк - 0,062 превышает 0,01, то число линий связи следует увеличить. Допустим, что линий связи стало 6. Тогда из фор­мул (22) при k=6

P₀ = [10,629 + 0.265]^-1 0,092;

p₆ = 092 = 0,265.0,092 0,024 >0,01.

Следовательно, при k=6 вероятность отказов Р_отк ⁼ Р₆ = 0,024 превышает 0,01. Значит, число каналов надо увели­чить. При k=7 получим: p₀ = 0,091; p₇ = 0,008. Следовательно, при k =7 вероятность отказов Р_отк =p₇ = 0,008 не превышает 0,01. Таким образом, для обеспечения требуемой вероятности отказов следует увеличить количество линий связи диспетчерской службы до 7.

Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью

Пусть СМО имеет k каналов обслуживания. Все потоки простейшие. Интенсивность потока заявок —l, потока об­служивания одной заявки — m. Коэффициент загрузки СМОr= . Обозначим отношение коэффициента загрузки к числу каналов в системе черезc = . Предельноераспределение вероятностей состояний в описываемой СМО существует толь­ко при c<1. Этот факт можно объяснить, если рас­сматривать данную СМО как предельный случаи многоканаль­ной СМО с ограниченной очередью при стремлении длины очереди к бесконечности. Тогда предельное распределение ве­роятностей состояний можно вычислить как предел при т—>¥ предельных вероятностей (19)- (20). При этом возникает бесконеч­ный числовой ряд, состоящий из членов геометриче­ской прогрессии, который сходится, если знаменатель прогрессии меньше 1, т. е. c<1, и имеет сумму .

Обозначим через p_i предельную вероятность того, что в системе занято i каналов (0< i < k+1), а через p_k+r — пре­дельную вероятность того, что в системе заняты все k кана­лов и r заявок стоят в очереди. При c<1 предельное распре­деление вероятностей состояний имеет вид:

p₀ = ;

pi = p₀; (0< i < k+1); p_k+r = p₀; (r > 0). (23)

Так как очередь в СМО не ограничена, то каждая заявка рано или поздно будет обслужена, следовательно, справедли­вы соотношения

P_отк = 0, Q = 1 – P_отк = 1, A = Q l = l. (24).

Остальные показатели эффективности СМО вычисляются по формулам:

; ; ;

= ; = . (25)

17.Таблица основных формул для открытых СМО

№	Общий случай (m – число мест в очереди)	Задача Эрланга (m = 0)	Неограниченное число мест в очереди (m = ¥), c<1
	p0 = pi = p0;(0< i £k);pk+r= p0;(1£r £m).	p0 = pi = p0;(0< i £ k).	p0 = pi = p0; (0< i £ k); pk+r = p0; (r > 0).
	(1 – pk+m) — среднее число занятых каналов.	(1 – pk)
	Абсолютная пропускная способность А = = l(1 – pk+m) — среднее число заявок, обслуживаемое СМО в еди­ницу времени.	А =l(1 – pk)	А =l
	Относительная пропускная способностьQ = = 1 – pk+m - вероятность обслуживания заявки	Q = 1 – pk	Q = 1
	Pотк = 1 – Q = pk+m — вероятность отказа, т. е. вероятность того, что заявка не будет обслужена	Pотк = pk	Pотк = 0
	— среднее число заявок в очереди.
	- среднее число заявок в СМО (все заявки- как обслуживаемые, так и ожидающие очереди, ес­ли она есть).	r(1 – pk)	= r +
	= среднее время заявки в очереди.		=
	= - среднее время заявки в СМО, как в очереди, если она есть, так и под обслуживанием.	= (1 – pk)	=

Пример. Дисплейный зал имеет k дисплеев. Поток поль­зователей простейший. Среднее число пользователей, посещаю­щих дисплейный зал за сутки, равно п. Время обработки инфор­мации одним пользователем на одном дисплее распределено по показательному закону и составляет в среднем t мин. Определить, существует ли стационарный режим работы зала; вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми; среднее число пользователей в очереди; среднее время ожидания свобод­ного дисплея; среднее время пребывания пользователя в дис­плейном зале.

Дано: k=2, n=40, t=34

Решение: Рассматриваемая в задаче СМО относится к классу многоканальных систем с неограниченной очередью. Число каналов k=2. Найдем - интенсивность потока заявок: , где - среднее время между двумя последовательными заявками входящего потока пользователей. Тогда . Найдем - интенсивность потока обслуживания: , где - среднее время обслуживания одного пользователя одним дисплеем, тогда . Таким образом, классификатор данной системы имеет вид СМО .

Вычислим коэффициент загрузки СМО . Известно, что для СМО такого класса стационарный режим существует, если отношение коэффициента загрузки системы к числу каналов меньше единицы.

Находим это отношение .

Следовательно, стационарный режим существует. Предельное распределение вероятностей состояний вычисляется по формулам:

Поскольку k=2, имеем:

Вычислим - вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми. Очевидно, она равна сумме вероятностей таких событий: все дисплеи заняты, очереди нет (p₂); все дисплеи заняты, один пользователь в очереди (p₃); и так далее. Поскольку для полной группы событий сумма вероятностей этих событий равна единицы, то справедливо равенство .

Найдем эти вероятности:

Используя формулы для вычисления показателей эффективности, найдем:

1) среднее число пользователей в очереди

;

2) среднее число пользователей в дисплейном зале

;

3) среднее время ожидания свободного дисплея

;

4) среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале

Ответ: стационарный режим работы дисплейного зала существует и характеризуется следующими показателями ; пользователя; пользователя; мин; мин.

18. Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью, простейшим входящим потоком и произвольным распределением времени обслуживания

Пусть СМО содержит один канал. Поток заявок является простейшим с интенсивностью l. Время обслуживания Т_обсл распределено по произвольному закону с математическим ожиданием = M[Т_обсл] и средним квадратическим отклонением s_обсл ⁼ Такая система не является марковской, так как поток обслуживания не является простейшим.

Можно доказать, что среднее число заявок, находящихся в очереди, и среднее время ожидания обслуживания вычисляются по формулам Полячека—Хинчина:

(29)

где коэффициент загрузки системы; v = s_обсл ×m- коэффициент вариации времени обслуживания.

Из (29) по формулам Литтла получим:

(30)

Задача 7. На контейнерную площадку с одним краном прибывает простейший поток автомашин со средним интерва­лом между ними, равным 10 мин. Время погрузки-выгрузки в среднем составляет 6 мин. Время погрузки-выгрузки распре­делено по произвольному закону, среднее квадратическое отклонение времени погрузки-выгрузки равно 1 мин. Определить:

1) среднее число автомашин, ожидающих погрузки-выгрузки;

2) средний простой машин в ожидании погрузки-выгрузки;

3) среднее число автомашин на контейнерной площадке;

4) среднее вре­мя нахождения машины на контейнерной площадке.

Решение. Контейнерную площадку с одним краном можно рассматривать как одноканальную СМО с неограни­ченной очередью, простейшим входящим потоком и произ­вольным распределением времени обслуживания. Найдем па­раметры СМО: l = 1/M[T} = 1/10 = 0,1 (машин в мин), m = 1/ M[Т_обсл] = 1/6 = 0,167 (машин в мин);

» 0,1/0,167» 0,599; v = v = s_обсл ×m = 1 × 0,167.

По формулам (29) и (30) вычислим показатели работы СМО:

1) среднее число автомашин, ожидающих погрузки-выгруз­ки:

0,459 маш;

2)средний простой машин в ожидании погрузки-выгрузки:

0,459 / 0,1 = 4,59» 4,6 мин;

3)среднее число автомашин на контейнерной площадке:

» 0,459 + 0,599 =1,058 маш.;

4)среднее время нахождения машины на контейнерной пло­щадке:

4,59 + 6» 10,6 мин.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая стати­стика. М.; Высшая школа, 1999.

2. В е н ц е л ь Е.С. Исследование операций: задачи, принципы методология. М.: Наука, 1998.

3. Чистяков В. П, Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1972.

4. Д а н к о П.Е., П о п о в А.Г., К о ж е в н и к о в а Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. М.: Высшая школа, 1986.

5. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории веро­ятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1999.

6. С и н д а л о в с к и й Г.Х. Высшая математика. Основные понятия теории вероятностей. Учебное пособие. М.: РГОТУПС, 1997.

6. М а л ы ш е в а И. А. Теория вероятностей и массового обслуживания: Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников 2 курса специальности УПП. М.: ВЗИИТ, 1991.

7. Л арин А.А. Курс высшей математики. Часть 4, 2000 (электронная версия в программе Word)

8. Г у ш е л ь Н.П. Начальные понятия комбинаторики: Учебное пособие. М.: ВЗИИТ, 19 92.

9. Г у ш е л ь Н.П., Б л и с т а н о в а Л.Д., Г о л е ч к о в Ю.И. Математика. Задания на контрольные работы №5-8 для студентов II курса всех инженерно-технических специальностей (кроме 220100 ЭВМ, 071900 ИСЖ, 330100 БЖТ, 330200 ЭК). М.: РГОТУПС, 2002.

Дата добавления: 2014-11-16