Числовые характеристики распределения случайных величин

В основе математической статистики лежат понятия генеральной и выборочной совокупностей.

Генеральная совокупность – это множество всех значений (исходов) случайной величины, которые она может принять в процессе наблюдения.

Выборочная совокупность (выборка) – это множество наблюдений, составляющих лишь часть генеральной совокупности.

1. Генеральная совокупность.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех её возможных значений на их вероятности, т.е.

.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины понимается число:

или .

Математическое ожидание случайной величины – это среднее её значение по генеральной совокупности.

Основные свойства математического ожидания.

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Случайные величины , называются независимыми, если для любых значений .

Следствия.

Если случайные величины , независимы, то:

1. ,

2. .

Теоретической (генеральной) дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания, т.е.

1. для дискретной случайной величины:

или ;

2. для непрерывной случайной величины:

или .

Дисперсия является мерой рассеяния случайной величины относительно средней.

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим (стандартным) отклонением этой величины, т.е.

.

Стандартное отклонение показывает, насколько в среднем отклоняется случайная величина в совокупности относительно средней.

Свойства дисперсии:

1. ,

2. ,

3.

Следствия.

Если случайные величины , независимы, то:

1. ,

2. .

и являются числовыми характеристиками генеральной совокупности.

Нормальное распределение случайной величины зависит только от двух параметров: математического ожидания и дисперсией . Это обозначается как .

Вероятность того, что отклонение нормальной случайной величины от среднего по модулю меньше , есть

, ,

где - функция Лапласа.

2. Выборочная совокупность.

Пусть из генеральной совокупности с распределением извлечена выборка объёма . Считаем, что выборочные наблюдения независимы и имеют одинаковые распределения.

Выборочной средней называется среднее арифметическое значение случайной величины в выборке, т.е.

.

Выборочной дисперсией (вариацией) называется среднее арифметическое квадратов отклонения случайной величины от среднего значения, т.е.

или .

Свойства выборочной дисперсии:

1. ,

2. ,

3. .

Значения и являются числовыми характеристиками выборочной совокупности.

Из условия, что выборочные наблюдения независимы и имеют одинаковые распределения, вытекают следующие соотношения:

, , .

Центральная предельная теорема закона больших чисел устанавливает, что распределение средней выборочной при достаточно большом является нормальным, т.е.

,

при этом

, .

Дата добавления: 2014-11-18