Формулы приведения для тригонометрических функций

Формулы преобразования произведения в сумму

Тангенс сложения аргументов

Синус и косинус сложения аргументов

Тригонометрические функции числового аргумента.

Тригонометрические функции числового аргументаt – это функции вида y = cos t,
y = sin t, y = tg t, y = ctg t.

С помощью этих формул через известное значение одной тригонометрической функции можно найти неизвестные значения других тригонометрических функций.

Основные формулы тригонометрии:

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y

Формулы двойного аргумента (двойного угла)

sin 2 x = 2 sin x cos x

cos 2 x = cos² x – sin² x

cos 2 x = 1 – 2 sin² x

2 tg x
tg 2 x = ————
1 – tg² x

tg x + tg y

tg (x + y) = ——————
1 – tg x tg y

tg x – tg y
tg (x – y) = ——————
1 + tg x tg y

j
j	- a	a	a	a	- a	- a	- a	- a	a
j	a	a	- a	- a	- a	- a	a	a	a
j	- a	a	- a	- a	a	a	- a	- a	a
j	- a	a	- a	- a	a	a	- a	- a	a

Правило приведения:

Для выражений π + t, π – t, 2π + t, 2π – t	Для выражений π/2 + t, π/2 – t, 3π/2 + t, 3π/2 – t
1) В приведенном выражении следует сохранить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения. 2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0 < t < π/2.	1) В приведенном выражении следует изменить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения на противоположную. 2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0 < t < π/2.

Текст задания:

Тригонометрические преобразования Вариант 1
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А2	Найдите , если	1) 2) 3) 4)
А3	Упростите выражение:	1) 2) 3) 0; 4)
А4	Найдите значение выражения	1) 2) 3) 4)
А5	Упростите выражение:	1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1	Вычислите:
В2	Определите наибольшее значение выражения
С) Приведите подробное решение данного задания.
С	Вычислите , если .

Тригонометрические преобразования Вариант 2
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А2	Найдите , если	1) 2) 3) 4)
А3	Упростите выражение:	1) 2) 3) 0; 4)
А4	Найдите значение выражения	1) 2) 3) 4)
А5	Упростите выражение:	1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1	Вычислите:
В2	Определите наименьшее значение выражения
С) Приведите подробное решение данного задания.
С	Вычислите , если

Тригонометрические преобразования Вариант 3
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А2	Найдите , если	1) 2) 3) 4)
А3	Упростите выражение:	1) 2) 3) 1; 4)
А4	Найдите значение выражения	1) 2) 3) 4)
А5	Упростите выражение:	1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1	Вычислите:
В2	Определите наибольшее значение выражения
С) Приведите подробное решение данного задания.
С	Вычислите

Тригонометрические преобразования Вариант 4
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А2	Найдите , если	1) 2) 3) 4)
А3	Упростите выражение:	1) 2) - 3) 1; 4)
А4	Найдите значение выражения	1) 2; 2) 3) 4)
А5	Упростите выражение:	1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1	Вычислите:
В2	Определите наименьшее значение выражения
С) Приведите подробное решение данного задания.
С	Вычислите:

Тригонометрические преобразования Вариант 5
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А2	Найдите , если	1) 2) 3) 4)
А3	Упростите выражение:	1) 2) 3) ; 4) 1
А4	Найдите значение выражения	1) 2) 3) 4)
А5	Упростите выражение:	1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1	Вычислите:
В2	Определите наибольшее значение выражения
С) Приведите подробное решение данного задания.
С	Вычислите , если

Тригонометрические преобразования Вариант 6
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А2	Найдите , если	1) 2) 3) 4)
А3	Упростите выражение:	1) 2) 3) 0; 4)
А4	Найдите значение выражения	1) 2) 3) 4)
А5	Упростите выражение:	1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1	Вычислите:
В2	Определите наибольшее значение выражения
С) Приведите подробное решение данного задания.
С	Вычислите , если

Практическая работа № 11

Тема: Тригонометрические функции их графики и свойства

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению свойств тригонометрических функций.

Теоритическое обоснование:

Функции y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x

Функция y = sin x

Графиком функции является синусоида.

Полную неповторяющуюся часть синусоиды называют волной синусоиды.

Половину волны синусоиды называют полуволной синусоиды (или аркой).

Свойства функции y = sin x:

1) Область определения функции – множество действительных чисел. 2) Область значений функции – отрезок [–1; 1] 3) Это нечетная функция. 4) Это непрерывная функция. 5) Координаты точек пересечения графика: - с осью абсцисс: (πn; 0), - с осью ординат: (0; 0). 6) На отрезке [-π/2; π/2] функция возрастает, на отрезке [π/2; 3π/2] – убывает. 7) На промежутках [2πn; π + 2πn] функция принимает положительные значения. На промежутках [-π + 2πn; 2πn] функция принимает отрицательные значения. 8) Промежутки возрастания функции: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. Промежутки убывания функции: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn]. 9) Точки минимума функции: -π/2 + 2πn. Точки максимума функции: π/2 + 2πn 10) Функция ограничена сверху и снизу. Наименьшее значение функции –1, наибольшее значение 1. 11) Это периодическая функция с периодом 2π (Т = 2π)

Для построения графика функции y = sin x удобно применять следующие масштабы:

- на листе в клетку за единицу отрезка примем длину в две клетки.

- на оси x отмерим длину π. При этом для удобства 3,14 представим в виде 3 – то есть без дроби. Тогда на листе в клетку π составит 6 клеток (трижды по 2 клетки). А каждая клетка получит свое закономерное имя (от первой до шестой): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Это значения x.

- на оси y отметим 1, включающий две клетки.

Составим таблицу значений функции, применяя наши значения x:

x		π — 6	π — 3	π — 2	2π — 3	5π — 6	π
y	0	1 — 2	√3 — 2	1	√3 — 2	1 — 2	0

Далее составим график. Получится полуволна, наивысшая точка которой (π/2; 1). Это график функции y = sin x на отрезке [0; π]. Добавим к построенному графику симметричную полуволну (симметричную относительно начала координат, то есть на отрезке -π). Гребень этой полуволны – под осью x с координатами (-1; -1). В результате получится волна. Это график функции y = sin x на отрезке [-π; π].

Можно продолжить волну, построив ее и на отрезке [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] и т.д. На всех этих отрезках график функции будет выглядеть так же, как на отрезке [-π; π]. Получится непрерывная волнистая линия с одинаковыми волнами.

Функция y = cos x.

Графиком функции является синусоида (ее иногда называют косинусоидой).

Свойства функции y = cos x:

1) Область определения функции – множество действительных чисел. 2) Область значений функции – отрезок [–1; 1] 3) Это четная функция. 4) Это непрерывная функция. 5) Координаты точек пересечения графика: - с осью абсцисс: (π/2 + πn; 0), - с осью ординат: (0;1). 6) На отрезке [0; π] функция убывает, на отрезке [π; 2π] – возрастает. 7) На промежутках [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] функция принимает положительные значения. На промежутках [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] функция принимает отрицательные значения. 8) Промежутки возрастания: [-π + 2πn; 2πn]. Промежутки убывания: [2πn; π + 2πn]; 9) Точки минимума функции: π + 2πn. Точки максимума функции: 2πn. 10) Функция ограничена сверху и снизу. Наименьшее значение функции –1, наибольшее значение 1. 11) Это периодическая функция с периодом 2π (Т = 2π)

Функция y = mf (x).

Возьмем предыдущую функцию y = cos x. Как вы уже знаете, ее графиком является синусоида. Если мы умножим косинус этой функции на определенное число m, то волна растянется от оси x (либо сожмется, в зависимости от величины m).
Эта новая волна и будет графиком функции y = mf(x), где m – любое действительное число.

Таким образом, функция y = mf(x) – это привычная нам функция y = f(x), умноженная на m.

Если m < 1, то синусоида сжимается к оси x на коэффициент m. Если m > 1, то синусоида растягивается от оси x на коэффициент m.

Выполняя растяжение или сжатие, можно сначала построить лишь одну полуволну синусоиды, а затем уже достроить весь график.

Функция y = f (kx).

Если функция y = mf (x) приводит к растяжению синусоиды от оси x либо сжатию к оси x, то функция y = f(kx) приводит к растяжению от оси y либо сжатию к оси y.

Причем k – любое действительное число.

При 0 < k < 1 синусоида растягивается от оси y на коэффициент k. Если k > 1, то синусоида сжимается к оси y на коэффициент k.

Составляя график этой функции, можно сначала построить одну полуволну синусоиды, а по ней достроить затем весь график.

Функция y = tg x.

Графиком функции y = tg x является тангенсоида.

Достаточно построить часть графика на промежутке от 0 до π/2, а затем можно симметрично продолжить ее на промежутке от 0 до 3π/2.

Свойства функции y = tg x:

1) Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x = π/2 + πk, где k – любое целое число. Это означает, что на графике функции нет точки, принадлежащей прямой x = π/2, либо прямой x = 3π/2, либо прямой x = 5π/2, либо прямой x = –π/2 и т.д. 2) Область значений функции (–∞; +∞) 3) Это нечетная функция. 4) Это непрерывная функция на интервале (–π/2; π/2). 5) Это периодическая функция с основным периодом π (Т = π) 6) Функция возрастает на интервале (–π/2; π/2). 7) Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Функция y = ctg x

Графиком функции y = ctg x также является тангенсоида (ее иногда называют котангенсоидой).

Свойства функции y = ctg x:

1) Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x = πk, где k – любое целое число. 2) Область значений функции (–∞; +∞) 3) Это нечетная функция. 4) Это непрерывная функция. 5) Это периодическая функция с основным периодом π (Т = π) 6) Функция убывает в промежутке (πk; π + πk), где k – любое целое число. 7) Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Текст задания:

Множество значений
А1	Определите множество значений функции:	1) ; 2) ; 3) ; 4)
А2	Найдите сумму целых значений функции	1) 2) 3) 4)
А3	Укажите наибольшее целое значение функции	1) 2) 3) 4)
А4	Определите множество значений функции:	1) ; 2) ; 3) ; 4)
А5	Найдите сумму целых значений функции	1) 2) 3) 4)
А6	Укажите наименьшее целое значение функции	1) 2) 3) 4)
А7	Определите множество значений функции:	1) ; 2) ; 3) ; 4)
А8	Найдите сумму целых значений функции	1) 2) 3) 4)
А9	Укажите наибольшее целое значение функции	1) 2) 3) 4)
А10	Определите множество значений функции:	1) ; 2) ; 3) ; 4)
А11	Найдите сумму целых значений функции	1) 2) 3) 4)
А12	Укажите наименьшее целое значение функции	1) 2) 3) 4)

Практическая работа № 12

Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению формул.

Теоритическое обоснование:

Решение простейших тригонометрических уравнений

Уравнение	Общее решение	Частные случаи
,
,
,
,

Текст задания:

Практическая работа № 13

Тема: Решение тригонометрических уравнений и неравенств

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению методов решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Теоритическое обоснование:

1. Решение тригонометрических уравнений

Дата добавления: 2014-12-16