Парный регрессионный анализ

Общее представление об эконометрическом моделировании

Эконометрика ­– это наука, в которой на базе реальных статистических данных строятся, анализируются и совершенствуются математические модели реальных экономических явлений.

Название «эконометрика» было введено в 1926 г. норвежским экономистом и статистиком Рагнаром Фришем. В буквальном переводе этот термин означает «измерения в экономике».

Эконометрика как научная дисциплина зародилась и получила развитие на основе слияния экономической теории, математической экономики, экономической и математической статистики.

Предмет исследования эконометрики – экономические явления. Но в отличие от экономической теории эконометрика делает упор на количественные, а не качественные аспекты этих явлений. Основным инструментом эконометрических исследований является аппарат математической статистики.

К основным задачам эконометрики можно отнести следующие:

1) Построение эконометрических моделей, т.е. представление экономических моделей в математической форме, удобной для проведения эмпирического анализа. Данную проблему принято называть проблемой спецификации.

2) Оценка параметров построенной модели, делающих выбранную модель наиболее адекватной реальным данным. Это так называемый этап параметризации.

3) Проверка качества найденных параметров модели и самой модели в целом. Этот этап анализа называют этапом верификации.

4) Использование построенных моделей для объяснения поведения исследуемых экономических показателей, прогнозирования и предсказания, а также для осмысленного проведения экономической политики.

, , (1)

Например, – доход семьи в периоде , – расходы на питание.

– объясняющая (независимая) переменная, – объясняемая (зависимая) переменная, – случайное отклонение, и – коэффициенты регрессии.

Отметим, что и – случайные величины, может быть как случайной, так и неслучайной (детерминированной) величиной.

Пример

Обозначим – вектор-столбец наблюдений объясняющей переменной.

Основные гипотезы линейной регрессионной модели:

1) ;

2) – не зависит от (гомоскедастичность);

3) при – некоррелированность ошибок для разных наблюдений (отсутствие автокорреляции ошибок).

Часто используется допущение:

4) – (условно) нормально распределенная случайная величина

В этом случае модель называется нормальной линейной регрессионной.

Оценка параметров.

Метод наименьших квадратов.

Обозначим:

(2)

– прогнозное значение объясняемой переменной, и – некоторые оценки коэффициентов регрессии и .

Отметим, что зависит от значений коэффициентов и .

Обозначим:

(3)

сумму квадратов отклонений прогнозных значений от реальных значений объясняемой переменной.

Метод наименьших квадратов состоит в нахождении таких значений и , при которых минимально:

. (4)

Запишем необходимые условия экстремума задачи (4):

(5)

(6)

Систему уравнений (5), (6) приведем к виду:

(7)

(8)

Решив систему линейных уравнений (7), (8) относительно переменных и , получим:

, (9)

(10)

Пример

Найдем прогнозные значения по формуле (2):

		43,48
		31,50
		17,11
		68,26
		74,65

Напомним, что выборочные математические ожидания, дисперсия и ковариация находятся следующим образом:

, (11),

, (12),

. (13)

В нашем примере:

Заметим, что из (11)-(13):

(14)

(15)

В силу (14), (15) и (11) формулы (9), (10) примут вид:

, (16)

. (17)

Свойства оценок МНК

Несмещенность

Прежде всего, заметим, что в силу (1):

. (18)

В силу (11) и (18):

(19)

Из (18), (19):

(20)

В силу (13), (10):

(21)

В силу (16), (21):

(22)

Следовательно, оценка – несмещенная

В силу (17), (19), (22):

. (23)
Следовательно, оценка – несмещенная.

Можно также показать, что оценки и , полученные по МНК, минимизируют среднеквадратичное отклонение оценки от истинных значений и в классе всех линейных несмещенных оценок, линейных по .

Можно также показать, что

, (24)

. (25)

(26)

Оценка дисперсии ошибок

Остатки регрессии определяются из уравнения:

(27)

Следовательно, остатки регрессии можно найти по формуле:

(28)

В нашем примере:

		43,48	-8,48	71,98
		31,50	11,50	132,31
		17,11	-5,11	26,15
		68,26	9,74	94,95
		74,65	-7,65	58,50
				383,88

Обозначим:

(необъясненная дисперсия) (29)

Можно показать, что величина является несмещенной оценкой дисперсии ошибок , т.е.

. (30)

В нашем примере:

Квадратный корень из называется стандартной ошибкой оценки (стандартной ошибкой регрессии).

В нашем примере:

.

Обозначим:

, (31)

. (32)

(33)

В силу несмещенности оценки из (24)-(26) следует, что величины (31)-(33) являются несмещенными оценками, соответственно, дисперсий случайных величин и , и их ковариации.

В нашем примере:

.

Дата добавления: 2014-12-17