Критерий Стьюдента 2 страница

Пример

Пусть x_i и y_i – два признака, измеренные на одной и той же выборке испытуемых. Для вычисления коэффициента Фехнера необходимо вычислить средние значения для каждого признака, а также для каждого значения переменной – знак отклонения от среднего (табл. 8.1):

Таблица 8.1

	xi	yi			Обозначение
			+ - + - - + + - - +	+ - - + + - - + - +	а a b b b b b b a a
Среднее	15,5	17,2

В таблице: а – совпадения знаков, b – несовпадения знаков; n _a – число совпадений, n _b – число несовпадений (в данном случае n _a = 4, n _b = 6).

Коэффициент корреляции Фехнера вычисляется по формуле:

(8.1)

В рассматриваемом случае:

Вывод

Между исследуемыми переменными существует слабая отрицательная связь.

Необходимо отметить, что коэффициент корреляции Фехнера не является достаточно строгим критерием, поэтому его можно использовать лишь на начальном этапе обработки данных и для формулировки предварительных выводов.

8. 4. Коэффициент корреляции Пирсона

Исходный принцип коэффициента корреляции Пирсона – использование произведения моментов (отклонений значения переменной от среднего значения):

(8.2)

Если сумма произведений моментов велика и положительна, то х и у связаны прямой зависимостью; если сумма велика и отрицательна, то х и у сильно связаны обратной зависимостью; наконец, в случае отсутствия связи между x и у сумма произведений моментов близка к нулю.

Для того чтобы статистика не зависела от объема выборки, берется не сумма произведений моментов, а среднее значение. Однако деление производится не на объем выборки, а на число степеней свободы n - 1.

Величина является мерой связи между х и у и называется ковариацией х и у.

Во многих задачах естественных и технических наук ковариация является вполне удовлетворительной мерой связи. Ее недостатком является то, что диапазон ее значений не фиксирован, т. е. она может варьировать в неопределенных пределах.

Для того чтобы стандартизировать меру связи, необходимо избавить ковариацию от влияния стандартных отклонений. Для этого надо разделить S_xy на s _x и s _y:

(8.3)

где r_xy - коэффициент корреляции, или произведение моментов Пирсона.

Общая формула для вычисления коэффициента корреляции выглядит следующим образом:

(некоторые преобразования)

(8.4)

Влияние преобразования данных на r _xy:

1. Линейные преобразования x и y типа bx + a и dy + c не изменят величину корреляции между x и y.

2. Линейные преобразования x и y при b < 0, d > 0, а также при b > 0 и d < 0 изменяют знак коэффициента корреляции, не меняя его величины.

Достоверность (или, иначе, статистическая значимость) коэффициента корреляции Пирсона может быть определена разными способами:

По таблицам критических значений коэффициентов корреляции Пирсона и Спирмена (см. Приложение, табл. XIII). Если полученное в расчетах значение r _xyпревышает критическое (табличное) значение для данной выборки, коэффициент Пирсона считается статистически значимым. Число степеней свободы в данном случае соответствует n – 2, где n – число пар сравниваемых значений (объем выборки).

По таблице XV Приложений, которая озаглавлена «Количество пар значений, необходимое для статистической значимости коэффициента корреляции». В данном случае необходимо ориентироваться на коэффициент корреляции, полученный в вычислениях. Он считается статистически значимым, если объем выборки равен или превышает табличное число пар значений для данного коэффициента.

По коэффициенту Стьюдента, который вычисляется как отношение коэффициента корреляции к его ошибке:

(8.5)

Ошибка коэффициента корреляциивычисляется по следующей формуле:

(8.6)

где m _r - ошибка коэффициента корреляции, r - коэффициент корреляции; n - число сравниваемых пар.

Рассмотрим порядок вычислений и определение статистической значимости коэффициента корреляции Пирсона на примере решения следующей задачи.

Условие задачи

22 старшеклассника были протестированы по двум тестам: УСК (уровень субъективного контроля) и МкУ (мотивация к успеху). Получены следующие результаты (табл. 8.2):

Таблица 8.2

№№	УСК (xi)	МкУ (yi)	№№	УСК (xi)	МкУ (yi)

Задание

Проверить гипотезу о том, что для людей с высоким уровнем интернальности (балл УСК) характерен высокий уровень мотивации к успеху.

Решение

1. Используем коэффициент корреляции Пирсона в следующей модификации (см. формулу 8.4):

Для удобства обработки данных на микрокалькуляторе (в случае отсутствия необходимой компьютерной программы) рекомендуется оформление промежуточной рабочей таблицы следующего вида (табл. 8.3):

Таблица 8.3

x i	y i	x i^2	y i^2	x i y i
x 1 x 2 x 3 . . . x n	y 1 y 2 y 3 . . . y n	x 1^2 x2^2 x 3^2 . . . x n^2	y 1^2 y 2^2 y 3^2 . . . y n^2	x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 . . . x n y n
Σ x i	Σ y i	Σ x i^2	Σ y i^2	Σ x i y i

2. Проводим вычисления и подставляем значения в формулу:

3. Определяем статистическую значимость коэффициента корреляции Пирсона тремя способами:

1-й способ:

В табл. XIII Приложений находим критические значения коэффициента для 1-го и 2-го уровней значимости: r_кр. = 0,42; 0,54 (ν = n – 2 = 20).

Делаем вывод о том, r _xy > r _кр. , т. е. корреляция является статистически значимой для обоих уровней.

2-й способ:

Воспользуемся табл. XV, в которой определяем число пар значений (число испытуемых), достаточное для статистической значимости коэффициента корреляции Пирсона, равного 0,58: для 1-го, 2-го и 3-го уровней значимости оно составляет, соответственно, 12, 18 и 28.

Отсюда мы делаем вывод о том, что коэффициент корреляции является значимым для 1-го и 2-го уровня, но «не дотягивает» до 3-го уровня значимости.

3-й способ:

Вычисляем ошибку коэффициента корреляции и коэффициент Стьюдента как отношение коэффициента Пирсона к ошибке:

В табл. X находим стандартные значения коэффициента Стьюдента для 1-го, 2-го и 3-го уровней значимости при числе степеней свободы ν = n – 2 = 20: t_кр. = 2,09; 2,85; 3,85.

Общий вывод

Корреляция между показателями тестов УСК и МкУ является статистически значимой для 1-го и 2-го уровней значимости.

Примечание:

При интерпретации коэффициента корреляции Пирсона необходимо учитывать следующие моменты:

1. Коэффициент Пирсона может использоваться для различных шкал (шкала отношений, интервальная или порядковая) за исключением дихотомической шкалы.

2. Корреляционная связь далеко не всегда означает связь причинно-следственную. Другими словами, если мы нашли, предположим, положительную корреляцию между ростом и весом у группы испытуемых, то это вовсе не означает, что рост зависит от веса или наоборот (оба этих признака зависят от третьей (внешней) переменной, каковая в данном случае связана с генетическими конституциональными особенностями человека).

3. r _xu» 0 может наблюдаться не только при отсутствии связи между x и y, но и в случае сильной нелинейной связи (рис. 8.2 а). В данном случае отрицательная и положительная корреляции уравновешиваются и в результате создается иллюзия отсутствия связи.

4. r_xy может быть достаточно мал, если сильная связь между х и у наблюдается в более узком диапазоне значений, чем исследуемый (рис. 8.2 б).

5. Объединение выборок с различными средними значениями может создавать иллюзию достаточно высокой корреляции (рис. 8.2 в).

y _i y _i y _i

.. .. .. .. .. .

... . . . . . ...

.. ... + +.. + + + + +

x _i x _i x _i

а б в

Рис. 8.2. Возможные источники ошибок при интерпретации величины коэффициента корреляции (объяснения в тексте (пункты 3 – 5 примечания))

8. 5. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Коэффициент корреляции Спирмена (r_s) используется в тех случаях, когда оба ряда переменных представлены ранговыми (порядковыми) шкалами. Для вычисления коэффициента Спирмена можно пользоваться двумя разными формулами, которые дают, в принципе, один и тот же результат:

1) ; (8.7)

2) . (8.8)

Коэффициенткорреляции Спирмена, так же как и r_xy, может варьировать от –1 до +1. r_s = 1 только в том случае, когда ранги обоих признаков в точности совпадают по х и у.

При расчете коэффициента Спирмена вручную (на микрокалькуляторе) рекомендуется использовать рабочую таблицу для промежуточных вычислений, которая имеет следующий вид:

x i	y i	x i – y i	(x i – y i)^2	x i y i
x 1 x 2 . . . x n	y 1 y 2 . . . y n	x 1 – y 1 x 2 – y 2 . . . x n – y n	(x 1 – y 1)^2 (x 2 – y 2)^2 . . . (x n – y n)^2	x 1 y 1 x 2 y 2 . . . x n y n
Σ x i	Σ y i	Σ(x i – y i)	Σ(x i – y i)^2	Σ x i y i

В зависимости от выбора формулы можно использовать столбцы 1 ¸ 4 либо 1, 2, 5.

Если в рядах переменных (или хотя бы в одном из них) имеются связанные (повторяющиеся) ранги, то следует пользоваться формулой (8.7) с соответствующей поправкой на связанные ранги:

(8.9)

где T _x = (N _x³ – N _x):12 и T _y = (N _y³ – N _y):12 (N _x и N _y, соответственно, число связанных рангов в ряду x и в ряду y).

Статистическая значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена определяется аналогично значимости коэффициента корреляции Пирсона (табл. XIII, XV и X Приложений).

Рассмотрим порядок расчета коэффициента Спирмена на примере следующей задачи.

Условие задачи

12 учащихся были проранжированы психологом по их открытой неприязни к преподавателю (x _i) и к другим учащимся (y _i). Результаты экспертной оценки приведены ниже (табл. 8.4):

Таблица 8.4

№№ Исп.

xi

yi

Задание

Определить, существует ли связь между открытой неприязнью учащихся к преподавателю и к другим учащимся.

Решение

Составляем рабочую таблицу для вычисления коэффициента корреляции Спирмена (табл. 8.5) и вносим полученные результаты в соответствующие формулы:

Таблица 8.5

x i	y i	(x i – y i)^2	x i y i
			132
	Σ

В таблице критических значений коэффициентов корреляции Пирсона и Спирмена находим: r_кр = 0,58 (β₁ = 0,95); 0,71 (β₂ = 0,71).

Вывод

Корреляция является статистически значимой для 1-го уровня.

8.6. Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

(тау Кендалла, t)

Коэффициент корреляции Кендалла используется в случае, когда переменные представлены двумя порядковыми шкалами при условии, что связанные ранги отсутствуют. Вычисление коэффициента Кендалла связано с подсчетом числа совпадений и инверсий. Рассмотрим эту процедуру на примере предыдущей задачи.

Алгоритм решения задачи следующий:

1. Переоформляем данные табл. 8.5 таким образом, чтобы один из рядов (в данном случае ряд x _i) оказался ранжированным. Другими словами, мы переставляем пары x и y в нужном порядке ивносим данные в столбцы 1 и 2 табл. 8.6.

Таблица 8.6

xi	yi	Совп.	Инв.
	Σ

2. Определяем «степень ранжированности» 2-го ряда (y _i). Эта процедура проводится в следующей последовательности:

а) берем первое значение неранжированного ряда «3». Подсчитываем количество рангов ниже данного числа, которые больше сравниваемого значения. Таких значений 9 (числа 6, 7, 4, 9, 5, 11, 8, 12 и 10). Заносим число 9 в столбец «совпадения». Затем подсчитываем количество значений, которые меньше трех. Таких значений 2 (ранги 1 и 2); вносим число 2 в графу «инверсии».

б) отбрасываем число 3 (мы с ним уже поработали) и повторяем процедуру для следующего значения «6»: число совпадений равно 6 (ранги 7, 9, 11, 8, 12 и 10), число инверсий – 4 (ранги 1, 2, 4 и 5). Вносим число 6 в графу «совпадения», а число 4 – в графу «инверсии».

в) аналогичным образом процедура повторяется до конца ряда; при этом следует помнить, что каждое «отработанное» значение исключается из дальнейшего рассмотрения (подсчитываются только ранги, которые лежат ниже данного числа).

Примечание

Для того чтобы не совершать ошибок в подсчетах, следует иметь в виду, что с каждым «шагом» сумма совпадений и инверсий уменьшается на единицу; это понятно, если учесть, что каждый раз одно значение исключается из рассмотрения.

3. Подсчитывается сумма совпадений (Р) и сумма инверсий (Q); данные вносятся в одну и трех взаимозаменяемых формул коэффициента Кендалла (8.10). Проводятся соответствующие вычисления.

t (8.10)

В нашем случае:

В табл. XIV Приложений находятся критические значения коэффициента для данной выборки: τ_кр. = 0,45; 0,59. Эмпирически полученное значение сравнивается с табличным.

Вывод

τ = 0,55 > τ_кр. = 0,45. Корреляция статистически значима для 1-го уровня.

Примечание:

При необходимости (например, при отсутствии таблицы критических значений) статистическая значимость t Кендалла может быть определена по формуле следующего вида:

(8.11)

где S* = P – Q + 1, если P < Q, и S* = P – Q – 1, если P > Q.

Значения z для соответствующего уровня значимости соответствуют мере Пирсона и находятся по соответствующим таблицам (в приложение не включены. Для стандартных уровней значимости z _кр = 1,96 (для β₁ = 0,95) и 2,58 (для β₂ = 0,99). Коэффициент корреляции Кендалла является статистически значимым, если z > z _кр

В нашем случае S* = P – Q – 1 = 35 и z = 2,40, т. е. первоначальный вывод подтверждается: корреляция между признаками статистически достоверна для 1-го уровня значимости.

8.7. Дихотомический коэффициент корреляции (j)

Коэффициент j используется в качестве меры связи в тех случаях, когда признаки х и у измеряются в дихотомической шкале наименований и могут принимать значения 0 или 1. Рассмотрим способы вычислений коэффициента на пример задачи.

Условие

Проведен социологический опрос, касающийся отношения населения к религии. Было опрошено 250 респондентов (100 мужчин и 150 женщин). По результатам опроса оказалось, что среди мужчин 40 верующих и 60 атеистов, а среди женщин 85 оказались верующими и 65 – атеистами.

Задание

Определить, существует ли связь между полом и отношением к религии. Определить знак и статистическую значимость коэффициента корреляции.

Решение

Введем необходимые обозначения:

- шкала х – пол (1 – мужчины, 0 – женщины);

- шкала у – отношение к религии (1 – верующий, 0 – атеист).

Задачу можно решить двумя различными способами:

1-й способ:

1. Составляем матрицу сопряженности признаков следующего вида:

	Признак х
		Σ
Признак у		a	b	a + b
	с	d	c + d
Σ	a + c	b + d

2. Подставляем в матрицу полученные экспериментальные значения. В данном случае в качестве измеряемого признака служит число испытуемых, принимающее разные значения при сочетании шкал х и у. Так, в клетку а матрицы вносится число испытуемых, имеющих единицу по обеим шкалам, т. е число верующих мужчин; в клетку b – испытуемые, имеющие 0 по шкале х и 1 по шкале у (число верующих женщин) и т. д.

	Признак х
		Σ
Признак у
Σ

3. Используем формулу дихотомического коэффициента корреляции:

(8.12)

4. Проводим вычисления:

Интерпретация знака коэффициента корреляции состоит в том, что если он положителен, то 1 по х коррелирует с 1 по у, 0 по х коррелирует с 0 по у. Отрицательный коэффициент (как в нашем случае) свидетельствует о том, что 1 по х коррелирует с 0 по у, 0 по х коррелирует с 1 по у. Другими словами, женщины являются более верующими, а мужчины – более атеистичными.

По таблице критических значений дихотомического коэффициента корреляции (см. Приложение, табл. XVI) находим, что коэффициент является статистически значимым для 1-го уровня (φ_кр. = 0,13).

При отсутствии соответствующей таблицы можно воспользоваться следующим соотношением (для 1-го уровня значимости): и

В нашем случае: z = 2,58 и χ² = 6,64, т. е. вывод подтверждается.

Кроме того, в табл. VI Приложения можно определить статистическую значимость χ² и для более высоких уровней (ν =1).

Вывод

Корреляция между полом и отношением к религии является статистически значимой, что можно констатировать с вероятностью 0,95.

2-й способ:

Обозначим: p _x – относительная доля испытуемых, имеющих единицу по х, q_x = 1 – p_x – имеющих нуль по х; аналогично: p _y – доля испытуемых, имеющих единицу по у, q_y = 1 – p_y – имеющих нуль по у; наконец, p _xy - доля людей, имеющих единиц по x и по y.

Коэффициент j вычисляется по формуле:

(8.13)

В нашем примере: p _x = 100:250 = 0,40; q _x = 1 – 0,40 = 0,60; p _y = 120:250 = 0,50; q_y = 1 – 0,50 = 0,50; p _xy = 40:250 = 0,16. Подставляя значения в формулу, получаем: φ = –0,163. Вывод подтверждается.

8. 8. Точечный бисериальный коэффициент корреляции (r _pb)

Точечный бисериальный коэффициент корреляции используется тогда, когда одна переменная формирует дихотомическую шкалу наименований, другая – шкалу интервалов или шкалу отношений. Порядок вычислений коэффициента рассмотрим на примере следующей задачи.

Условие задачи

В группе испытуемых, протестированных по тесту Айзенка, обнаружено 15 экстравертов, из них 8 с высоким уровнем нейротизма (холерики) и 7 – с низким нейротизмом (сангвиники). Тест Спилбергера обнаружил у тех и других следующий уровень личностной тревожности (УЛТ):

Таблица 8.7

Тип темперамента	Уровень личностной тревожности
Холерики
Сангвиники

Задание

Определить уровень связи и ее статистическую значимость между типом темперамента и уровнем личностной тревожности.

Решение

1. Учитывая, что шкала типов темперамента дихотомическая, а шкала УЛТ – интервальная, используем формулу для вычисления точечно-бисериальный коэффициент корреляции:

(8.14)

где и , соответственно, средние значения переменных для двух интервальных шкал, т. е. средние значения УЛТ для холериков ()и сангвиников (); σ_у – стандартное отклонение для всей выборки; n ₁ и n ₀ – численность каждой из сравниваемых выборок и n = n ₁ + n ₀ – общее число испытуемых.

2. Определяем промежуточные значения:

3. Проводим вычисления:

4. Определяем число степеней свободы: ν = (n ₁ – 1) + (n ₀ – 1) = 13.

5. В табл. XIII Приложений находим критические значения коэффициента корреляции (специальной таблицы для r _pbне существует): r _кр. = 0,51 (β₁ = 0,95) и 0,64 (β₂ = 0,99). r _pb > r _кр. . В данном случае можно воспользоваться и табл. XV: как можно видеть, для статистической значимости коэффициента, равного 0,67, достаточно 9 испытуемых для 1-го и 13 – для 2-го уровня (в нашем примере n = 15).

Вывод

Корреляция между типом темперамента и уровнем личностной тревожности статистически значима для 1-го и 2-го уровней.

Дата добавления: 2014-11-29