Однородные уравнения

Уравнение

(6)

называется характеристическим уравнением, которое соответствует разностному уравнению (3). Характеристическое уравнение для разностных уравнений (3) и (5) одно и то же.

Общее решение линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами (3) состоит из двух слагаемых

1) из общего решения линейного однородного уравнения (5), которое зависит от постоянных и имеет вид

. (7)

2) из частного решения линейного неоднородного разностного уравнения (3), которое определяется видом функции .

Таким образом, решение неоднородного разностного уравнения (3) можно записать в виде

, (8)

Общее решение линейного однородного разностного уравнения (5) определяется корнями характеристического уравнения (6).

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Тогда общее решение линейного однородного уравнения имеет вид

. (9)

Случай 2. Среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы одна пара комплексно сопряженных корней: .

Пусть и .

Тогда общее решение линейного однородного разностного уравнения (5) имеет вид

, (10)

где , . (11)

т. е. , – соответственно модуль и аргумент комплексного числа .

Формулы (10) и (11) легко распространяются на случай произвольного числа комплексно сопряженных корней.

Дата добавления: 2014-12-07