Параметрическая оценка функции плотности распределения

Предположим, что статистические наблюдения принадлежат к нормальному закону распределения с функцией плотности в виде:

,

,

где а=М(Х) - математическое ожидание случайной величины Х; -дисперсия случайной величины Х.

Значения математического ожидания а и дисперсии являются основными числовыми характеристиками случайной величины.

До проведения статистического наблюдения конкретные значения математического ожидания а и дисперсии неизвестны.

Поэтому особенно важно знать эти числовые характеристики до начала статистической обработки выборочных наблюдений. В качестве оценок параметров а и будем использовать и .

Исходя из гипотезы, что заданная выборка имеет нормальный закон распределения, найдём параметрическую оценку функции плотности, используя формулу для плотности распределения вероятности нормального закона:

где = и = .

Значения этой функции вычисляют для середин частичных интервалов, т.е. при . На практике для упрощения вычислений

функции , где i= 1,2,..., k, пользуются таблицами значений функции плотности стандартной нормальной величины (табл.7).

Для этого вычислим значения

дляi= 1,2,..., k:

;

;

;

;

;

;

;

.

Таблица 7

Плотность вероятности нормального распределения

г
0,0	0,3989
0.1
0,2			3894|
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6									ОНО
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0014
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

Затем по табл.7 находим значения функции плотности стандартной нормальной величины

.

Имеем:

;

;

;

;

;

;

;

;

После этого, разделив значения функции на , получим значения теоретической функции плотности :

.

Имеем:

;

;

;

;

;

;

;

.

Функция принимает наибольшее значение при :

.

Если h мало и объём выборки n велик, то можно приближенно, достаточно близко определить вероятность того, что случайная величина Х принадлежит интервалу , по формуле:

,

где - теоретическая вероятность.

Используем соотношение, связывающее теоретическую вероятность с теоретической частотой :

.

Тогда теоретические частоты определяются равенствами

.

Может оказаться, что теоретические частоты являются дробными

числами, но число элементов выборки, попадающих в i-й интервал, всегда является целым числом. Поэтому округлим дробные теоретические частоты до целых значений с условием, чтобы сумма всех найденных теоретических частот была близка к п:

.

Если сумма теоретических вероятностей существенно ниже единицы, то надо построить дополнительные интервалы слева и справа от основного интервала [ ; ).Для средних значений частичных интервалов, построенных слева и справа от интервала [ ; ), вычислим значения теоретической плотности нормального распределения и теоретические частоты. Сумма для всех теоретических вероятностей должна быть близка к единице с точностью до нескольких знаков после запятой:

Для того чтобы определить теоретические вероятности, используют таблицу значений функции плотности стандартной нормальной величины:

.

Вычислим теоретические вероятности:

;

;

;

;

;

.

Вычислим теоретические частоты для n=60:

;

;

;

;

;

;

;

;

Результаты вычислений вероятностей и соответствующих частот приведены в табл. 8

В первом столбце таблицы расположены k частичных интервалов, во втором столбце расположены наблюдаемые частоты , в третьем столбце расположены координаты середины частичных интервалов, в четвёртом столбце расположены относительные частоты, в пятом столбце расположены значения экспериментальной функции плотности, в шестом столбце расположены значения , в седьмом столбце расположены значения теоретической функции плотности, вычисленные в середине частичных интервалов, в восьмом столбце расположены значения теоретических вероятностей, в девятом столбце расположены значения теоретических частот.

Таблица 8

Результаты вычисления экспериментальных и теоретических вероятностей и частот

[хi-1; хi)	ni		pi=		zi		pi^T	ni^T
[0; )		0,5	0,01666	0,0238
[ ;1,4)		1,05	0,01666	0,0238
[1,4;2,1)		1,75	0,08333	0,11904
[2,1;2,8)		2,45	0,31666	0,45237
[2,8;3,5)		3,15	0,25	0,35714
[3,5;4,2)		3,85	0,2	0,28571
[4,2;4,9)		4,55	0,1	0,14286
[4,9;5,6)		5,25	0,01666	0,0238
Σ			0,9997»1				0,9998»1	59,988»60

Построим графики экспериментальной и теоретической плотности нормального распределения (рис. 1).

Рис. 1 - Графики экспериментальной и теоретической плотности нормального распределения

Отложим по оси Oх среднее значение i-го частичного интервала с шагом h; в точках по оси ординат отложим вычисленные значенияэкспериментальной и теоретической функций плотности. Соединяя построенные координаты точек на плоскости, получим графики экспериментальной и теоретической функций плотности, которые приведены на рис.1.

Дата добавления: 2014-12-23