Примеры решения задач. 1. Стержень, собственная длина которого м, движется в продольном направлении со скоростью относительно - системы отсчета

1. Стержень, собственная длина которого м, движется в продольном направлении со скоростью относительно - системы отсчета. При каком значении длина стержня в этой системе будет равна м?

Решение

Сокращение длины стержня относительно неподвижной системы отсчета определяется формулой (9.8). Следовательно, скорость стержня должна быть

.

2. Стержень пролетает с большой скоростью мимо метки, расположенной в лабораторной системе отсчета . Известно, что время прохождения стержня мимо метки равно по часам системы и по часам системы , связанной со стержнем. Определить собственную длину стержня.

Решение

Рассмотрим два события – совмещение с меткой переднего и заднего концов стержня - в двух системах отсчета. В системе эти события происходят в одной точке, и интервал между ними в соответствии с (9.14) определяется равенством

.

В системе расстояние между точками, в которых происходят эти события, как раз и есть собственная длина стержня. В этом случае интервал равен

.

В силу инвариантности интервала

и окончательно

м

3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями и по отношению к лабораторной системе отсчета . Найти:

1) скорость сближения этих частиц в этой системе отсчета;

2) их относительную скорость.

Решение

1). Скорость сближения – это скорость, с которой изменяется (уменьшается) расстояние между частицами в данной системе отсчета. В нашем случае она равна сумме скоростей, т.е.

.

Полученный результат не противоречит теории относительности, так как эта величина не представляет собой реальную скорость распространения какого-либо физического объекта.

2). Относительная скорость частиц в теории относительности – это скорость одной частицы в системе отсчета, где другая частица покоится. Свяжем, например, с первой частицей, движущейся в положительном направлении оси x, -систему (рис.9.5). Тогда относительная скорость движения частиц будет равна скорости второй частицы в системе , т.е.

,

а скорость движения системы относительно системы

.

На основании закона сложения скоростей в релятивистской механике, получим

.

Отметим, что относительная скорость движения частиц не может быть больше скорости света.

4. Мю-мезон, движущийся со скоростью , пролетел от места своего рождения до точки распада расстояние . Определить собственное время жизни этого мезона и расстояние, которое он пролетел с «его точки зрения».

Решение

Рассмотрим два события, рождение и распад мезона, в двух системах отсчета: лабораторной системе и системе , связанной с мезоном и движущейся относительно системы со скоростью .

В лабораторной системе время жизни мезона, с учетом того, что он пролетел со скоростью расстояние , равно

.

Собственное время жизни мезона, т.е. промежуток времени, измеренный по неподвижным относительно него часам, определится по формуле замедления времени

.

Расстояние, которое пролетел мезон в -системе с «его точки зрения», т.е. с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с мезоном, равно

.

Проведя вычисления, получим ,

5. Частица массой , летящая со скоростью , испытывает неупругое соударение с идентичной покоящейся частицей (рис.9.6). Найти массу, скорость и кинетическую энергию частицы, образовавшейся в результате столкновения.

Решение

В релятивистской механике при любом характере соударения тел в замкнутой системе справедливы законы сохранения импульса и полной энергии.

Закон сохранения импульса для данного случая имеет следующий вид

.

В этой формуле - масса и скорость образовавшейся частицы.

В соответствии с законом сохранения полной энергии, энергия движущейся и покоящейся частиц до столкновения будет равна энергии образовавшейся частицы, т.е.

.

Решение данной системы уравнений позволяет получить выражение для скорости, образовавшейся частицы

.

Подстановка числовых значений дает следующий результат .

Для нахождения соотношения между массами исходной и образовавшейся частицы, воспользуемся закон сохранения импульса.

Имеем

.

Как видим, масса образовавшейся частицы больше, чем сумма масс соударяющихся частиц.

Кинетическая энергия образовавшейся частицы найдется как разность ее полной энергии и энергии покоя, т.е.

.

Дата добавления: 2014-12-29