Свойства равномерно сходящихся рядов

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса

Функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве В, если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами (5) такой, что при .

Пример 14. Ряд сходится равномерно на .

Действительно, для значений , принадлежащих этому отрезку, имеем . Ряд с общим членом сходится. По признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно.

1. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть функция непрерывная .

2. Если члены сходящегося ряда (1) непрерывно дифференцируемы при и ряд, составленный из их производных , сходится равномерно на отрезке , то при .

3. Если члены ряда (1) непрерывны для и этот ряд сходится равномерно на , то . .

Пример 15. Рассмотрим ряд

из неравенства следует, что этот ряд сходится и притом равномерно на всей оси. Рассмотрим ряд, получающийся из заданного при почленном дифференцировании:

(7)

Из неравенства следует, что ряд (7) сходится равномерно на всей оси. Для суммы исходного ряда при любом справедливо .

Дата добавления: 2014-12-23