Доведення

Застосування гіпотези abc

Нагадаємо, що велика теорема Ферма була сформульована Пьєром Ферма майже 400 років тому і доведена в повному об’ємі англійським математиком Ентоні Уайлзом в 1995році.

Велика теорема Ферма. Рівняння не має розв’язків в натуральних числах при .

Покажемо доведення теореми Ферма при , за умови, що гіпотеза abc істина. Оскільки випадки були доведені П.Ферма, Л.Ейлером, Кумером.

Припустимо, що рівняння Ферма має розв’язки, тоді існують такі взаємно прості натуральні числа , які пов’язані співвідношенням . Тоді легко показати, що .

Позначимо, і запишемо для них наслідок гіпотези abc .

Тоді

При , що не можливо при .

При , що не можливо при .

Таким чином, рівняння Ферма немає розв’язків в натуральних числах

при

Звісно,що доведення Уайлза вірне для , але існують рівняння, схожі на рівняння Ферма, для яких не відомо аналогів теореми Уайлза і підхід через гіпотезу abc може спрацювати.

Кінечність множини троєк послідовних степеневих натуральних чисел..

Степеневим числом будемо називати натуральне число, котре ділиться на квадрат будь – якого свого простого дільника. Добуток двух степеневих чисел є степенное число. Якщо степенное число ділиться на , то воно ділиться й на , і, тому .

Припустимо, що у нас є 3 послідовних степенних числа . Положимо , , . Зробимо оцінку:

.

По гіпотезі , взяв , і позначив , отримаємо, що

,

звідки слідує , а значить число не перевищує величини , то є обмеженою зверху..

Використовуючи схожі міркування можливо довести і конечність арифметичних послідовностей довжини 3, состоящих з степеневих чисел.

Гіпотеза Каталана / Теорема Михайлеску

Гіпотеза Каталана говорить, що рівність при , і може досягати в единному випадку: . Преда Михайлеску уже довів цю теорему. Покажемо що з гіпотези слідує конечність множини рішень цього рівняння.

Для початку доведемо лемму.

Лемма. Якщо , і , причому хотя б одне з цих нерівностей строге, то .

Дата добавления: 2014-12-24