Примеры вычисления производных

Пример 1. Вычислить производную функции y=(3x³-2x+1)×sin x.

Решение. По правилу 3, y'=(3x³-2x+1)'×sin x + (3x³-2x+1)×(sin x)' =

= (9x²-2)sin x + (3x³-2x+1)cos x.

Пример 2. Найти y', y = tg x + .

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y'=(tgx + )' = (tgx)' + ( )' = + ₌ .

Задание для практической работы по теме «Вычисление производных функций»: Вычислить производные функций:

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
1. y= =x^3-15 2. y=-3x^3+5х-8+4x^2   3. y=(x^3-1)(x+1)   4. y=(x^3-2)(3x+1) 5. 6. 7.	1. y= =2x^2-1 2. y= x^3+6х-18+6x^2   3. y=(x^2+1)(x-5)   4. y=(x^3+2)(7x-3) 5. 6. 7.	1. y= =8x^2+х 2. y= x^4+5х-1+2x^2   3. y=(x^2+2)(x+5)   4. y=(x^3+2х)(x+15) 5. 6. 7.
Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
1. y= =3x^3-5 2. y= 5x^3+5-8х+x^2   3. y=(x^3-7)(2x+1)   4. y=(x^3-6)(x+1) 5. 6. 7.	1. y= =4x^2+5х 2. y=x^4+х-10+5x^2   3. y=(x^2-5)(x+2)   4. y=(3x^3+х)(x-5) 5. 6. 7.	1. y= =2x^3-х   2. y= 4x^3+5х-8+2x^2   3. y=(x^3-1)(x+2)   4. y=(x^3-2)(2x+1) 5. 6. 7.
Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9
1.   2. у=15x^3+6-2х+x^2   3. y=-8x^2(х+1)   4. y=4x(1-2x-2x^2)   5. y=sin x/ln x 6. 7.	1. Y=3x ^-5   2. у=2x^4+5х-10+5x^2   3. y=-2x(5x+3)   4. y=(3x-5)(5-x^2) 5. 6. y=cos x·2^x 7.	1. y= =-3x^3 2. y= 3x^3+15х-8+x^2   3. y=(x^3-1)(x+1)   4. y=5^x·tg x 5. 6. 7.

практическое занятие №2

Тема 1.2: «Нахождение углового коэффициэнта касательной к графику функции в указанной точке. Составление уравнения касательной.»

Цель: Составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке.

Теоретический материал:

Углом наклона прямой y = kx+b называют угол , отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс до прямой y = kx+b в положительном направлении (то есть, против часовой стрелки). Угловым коэффициентом прямой y = kx+b называют числовой коэффициент k. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой, то есть, .

Угол наклона прямой равен нулю, когда прямая параллельна оси абсцисс. В этом случае нулю равен и угловой коэффициент, так как тангенс нуля есть ноль. Следовательно, уравнение прямой будет иметь вид y = b.

Когда угол наклона прямой y = kx+b является острым (), то угловой коэффициент k является положительным числом (так как тангенс острого угла принимает положительные значения ) и указывает на возрастание графика прямой.

В случае, когда прямая располагается перпендикулярно оси абсцисс (параллельно оси ординат) и задается равенством x = c, где c - некоторое действительное число.

Когда угол наклона прямой y = kx+b является тупым (), то угловой коэффициент k является отрицательным числом и указывает на убывание графика прямой.

Касательной к графику функции y = f(x) в точке называют прямую, проходящую через точку , с отрезком которой практически сливается график функции при значениях х сколь угодно близких к . Для этого покажем, что будет происходить с секущей АВ, если точку В бесконечно приближать к точке А.

Рисунок ниже иллюстрирует этот процесс.

Секущая АВ (показана синей пунктирной прямой) будет стремиться занять положение касательной прямой (показана синей сплошной линией), угол наклона секущей (показан красной прерывистой дугой) будет стремиться к углу наклона касательной (изображен красной сплошной дугой). Таким образом, касательная к графику функции y = f(x) в точке А – это предельное положение секущей AB при .

Дата добавления: 2014-12-26