Решение типовых задач. №1. Имеются следующие данные о производительности труда рабочих в двух бригадах:

№1. Имеются следующие данные о производительности труда рабочих в двух бригадах:

Таблица №1.1

Табельный номер рабочего	Произведено продукции за смену, шт. (х)
I бригада	II бригада
Итого:

Определить: 1) размах вариации , 2) среднее линейное отклонение ,

3) среднее квадратичное отклонение , 4) коэффициент вариации .

Решение:

1. , где - максимальное значение признака, - минимальное значение признака. Для нашего примера размах вариации производительности труда для первой бригады составляет: для второй бригады: . Этот показатель прост в вычислении и указывает на общие размеры вариации, но он не дает представления о степени колеблемости внутри совокупности, так как вычисляется на основе только двух крайних значений признака совокупности.

2. Для первичного ряда среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:

.

Порядок расчета среднего линейного отклонения следующий:

а) по значениям признака исчисляется средняя арифметическая: ;

б) определяются отклонения каждой варианты Х от средней: ;

в) рассчитывается сумма абсолютных величин отклонений: ;

г) сумма абсолютных величин отклонений делится на число значений:

.

В нашем примере средняя производительность труда рабочих первой бригады-

шт.,

- второй бригады

шт.

Таблица 1.2

Табельный номер рабочего	1 бригада	2 бригада
Х		| |	()^2	X		| |	()^2
		-16 -14 +4 +10 +16				-4 -2 +2 +4
Итого

шт., шт.,

.

Считается, что среднее линейное отклонение дает необъективную оценку вариации, как правило, занижает ее.

3. Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением

.

Для первой бригады:

шт.

Для второй бригады:

шт.

Среднеквадратическое отклонение является наиболее распространенным показателем степени вариации.

4. Коэффициент вариации – относительный показатель колеблемости, равный процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

.

Для первой бригады:

Для второй бригады:

Анализ полученных данных говорит о том, что производительность труда работников первой бригады отличается от средней производительности труда ( = 20шт.) в среднем на 12,8 шт., или на 64%, а второй бригады – в среднем на 2,8 шт., или на 14%. Величины показателей вариации свидетельствуют о том, что совокупность рабочих второй бригады по уровню производительности труда однороднее совокупности рабочих первой бригады. Значение коэффициента вариации рабочих первой бригады превышает 40%, следовательно, вариация производительности труда рабочих велика, найденная средняя производительность труда плохо представляет всю совокупность рабочих, не является ее типичной, надежной характеристикой, а саму совокупность нет оснований считать однородной по производительности труда. Значение коэффициента вариации у рабочих второй бригады не превышает 40 %. Это говорит об относительно невысокой колеблемости признака, о типичности, надежности средней производительности труда, об однородности рабочих второй бригады по производительности труда.

№2. При изучении норм расхода сырья получили следующее распределение изделий по весу:

Вес изделий, г.	Число изделий, шт.
До 20 20 – 22 22 – 24 24 – 26 Свыше 26
Итого

Вычислите:

1) среднее линейное отклонение;

2) среднее квадратическое отклонение;

3) коэффициент вариации.

Решение:

1. В вариационном ряду среднее линейное отклонение определяется по формуле:

, где .

Расчет этой величины удобно осуществлять в таблице.

Вес изделий, г.	Число изделий, (f)	Х	Хf		| | f	() ^2	() ^2f
До 20 20 – 22 22 – 24 24 – 26 Свыше 26				-3,7 -1,7 0,3 2,3 4,3	37,0 34.0 1,5 34,5 21,5	13,69 2,89 0,09 5,29 18,49	136,90 57,80 4,500 79,35 92,45
Итого							371,00

г. г.

Следовательно, вес изделий отклоняется от среднеарифметического веса в среднем на 1, 285 г.

2. Среднее квадратическое отклонение вариационного интервального ряда определяется по формуле:

.

Предоставив необходимые расчеты в таблице, подсчитаем:

г.

3. Коэффициент вариации:

Так как V<40%, то средний вес изделий, равный 22,7 г., является типичной величиной в данной однородной совокупности, и вес изделий от среднего веса в среднем отклоняется на 1,9 или на 8,48%.

№ 3. Имеется статистическая информация о фондоотдаче тридцати организаций, руб.:

1,05; 0,96; 1,12; 1,19; 1,08; 1,98; 1,3; 1,16; 1,065; 1,0; 1,1; 1,23; 1,13; 1,03; 0,9; 1,06; 1,15; 1,07; 1,17; 0,94; 1,02; 1,06; 1,18; 0,99; 1,1; 1,28; 1,09; 1,25; 1,04; 1,12.

1. Постройте статистический ряд распределения организаций по фондоотдаче, образовав пять групп с равными интервалами.

2. Постройте графики полученного ряда распределения. Графически определите значения моды и медианы.

3. Рассчитайте характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, моду и медиану, квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3. Объясните причину их расхождения.

Решение:

Необходимо построить ряд распределения организаций по признаку «фондоотдача», образовав пять групп с равными интервалами. Величину интервала группировки организаций по фондоотдаче определяем по формуле:

руб.

Таким образом, интервалы получились: 0,9 – 0,98; 0,98 – 1,06; 1,06 – 1,14; 1,14 – 1,22; 1,22 – 1,3.

Подсчитаем частоты, частости и накопленные частоты и представим результаты в таблице 1.3:

Таблица 1.3

Ряд распределения организаций по фондоотдаче

Группы организаций по фондоотдаче, руб.	Число организаций, f	Число организаций в % к итогу	Накопленные частоты, F	Х
А
0,9 – 0,98 0,98 – 1,06 1,06 – 1,14 1,14 – 1,22 1,22 – 1,3		23,333 36,667 26,667 13,333		0,94 1,02 1,1 1,18 1,26

2. Ряды распределения могут быть изображены графически. Основные графики следующие:

- полигон частот ряда распределения организаций по фондоотдаче (рис. 3. 1);

- гистограмма ряда распределения организаций по фондоотдаче (рис.3.2);

- кумулята распределения организаций по фондоотдаче (рис. 3.3).

Рис.1.1 Полигон частот ряда распределения организаций по фондоотдаче

1.092

Дата добавления: 2015-03-29