Основные методы экологических исследований 10 страница

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­ден­ная про­из­вод­ная не­по­ло­жи­тель­на на за­дан­ном от­рез­ке, за­дан­ная функ­ция убы­ва­ет на нем, по­это­му наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 12.

16. C 1. а) Ре­ши­те урав­не­ние:

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) За­пи­шем урав­не­ние в виде:

Зна­чит, от­ку­да

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

По­лу­чим числа

За­ме­ча­ние. Отбор кор­ней может быть обос­но­ван и любым дру­гим спо­со­бом: с по­мо­щью гра­фи­ка, ре­ше­ния двой­ных не­ра­венств и т.п.

Ответ: а)

б)

17. C 2. Точка — се­ре­ди­на ребра куба Най­ди­те угол между пря­мы­ми и

Ре­ше­ние.

При­мем ребро куба за Тогда Про­ведём через точку пря­мую, па­рал­лель­ную Она пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние ребра в точке причём Ис­ко­мый угол равен углу (или смеж­но­му с ним).

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом

В тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

от­ку­да а тогда

Ответ: .

При­ме­ча­ние.

Ответ может быть пред­став­лен и в дру­гом виде:

18. C 3. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Ре­ше­ние.

1. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Сде­ла­ем за­ме­ну .

Тогда от­ку­да на­хо­дим ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы: .

2. Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: .

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем:

Вто­рой слу­чай:

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем

Ре­ше­ние вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Пе­ре­се­кая ре­ше­ния не­ра­венств, по­лу­ча­ем ре­ше­ние си­сте­мы.

Ответ:

19. C 4. Угол тре­уголь­ни­ка равен — от­лич­ная от точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах и как на диа­мет­рах. Из­вест­но, что . Най­ди­те угол

Ре­ше­ние.

Точка лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром по­это­му Ана­ло­гич­но, Сле­до­ва­тель­но, точка лежит на пря­мой

Воз­мож­ны два слу­чая: точка лежит либо на от­рез­ке (рис. 1), либо

на про­дол­же­нии от­рез­ка за точку (рис. 2). Точка не может ле­жать на про­дол­же­нии от­рез­ка за точку , так как угол — ост­рый.

По­ло­жим Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и на­хо­дим:

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. По тео­ре­ме си­ну­сов то есть от­ку­да

Во вто­ром слу­чае от­ку­да

По­сколь­ку , по­лу­ча­ем: зна­чит, — ост­рый и равен или

Ответ:

20. C 5. Най­ди­те все зна­че­ния при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет более двух кор­ней.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим функ­ции и Ис­сле­ду­ем урав­не­ние

На про­ме­жут­ке функ­ция воз­рас­та­ет. Функ­ция убы­ва­ет на этом про­ме­жут­ке, по­это­му урав­не­ние имеет не более од­но­го ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при­чем ре­ше­ние будет су­ще­ство­вать тогда и толь­ко тогда, когда, то есть при

При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид При левая часть этого урав­не­ния от­ри­ца­тель­на, сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ний нет. При это урав­не­ние сво­дит­ся к квад­рат­но­му урав­не­нию дис­кри­ми­нант ко­то­ро­го по­это­му при это урав­не­ние не имеет кор­ней, при — урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, рав­ный при — урав­не­ние имеет два корня.

Пусть урав­не­ние имеет два корня, и

Тогда мень­ший ко­рень а боль­ший ко­рень не пре­вос­хо­дит если то есть при

По тео­ре­ме Виета по­это­му знаки кор­ней и за­ви­сят от зна­ков вы­ра­же­ний и Зна­чит, при оба корня от­ри­ца­тель­ны, при один из кор­ней от­ри­ца­тель­ный, а дру­гой не­от­ри­ца­тель­ный, при оба корня не­от­ри­ца­тель­ны.

Таким об­ра­зом, при урав­не­ние не имеет кор­ней при и имеет один ко­рень при и имеет два корня при

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет сле­ду­ю­щее ко­ли­че­ство кор­ней:

— нет кор­ней при

— один ко­рень при и

— два корня при и

— три корня при

Ответ:

21. C 6. За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое-то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Ре­ше­ние.

а) За­ду­ман­ные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают тре­бу­е­мый набор, за­пи­сан­ный на доске.

б) По­сколь­ку за­ду­ман­ные числа на­ту­раль­ные, то наи­мень­шее число в на­бо­ре — это наи­мень­шее из за­ду­ман­ных чисел, а наи­боль­шее число в на­бо­ре — это сумма всех за­ду­ман­ных чисел. Среди чисел за­пи­сан­но­го на­бо­ра долж­на быть сумма всех чисел, кроме наи­мень­ше­го, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в на­бо­ре, по­это­му не су­ще­ству­ет при­ме­ра таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­ро­го на доске будет вы­пи­сан набор из усло­вия.

в) Число 7 — наи­мень­шее число в на­бо­ре — яв­ля­ет­ся наи­мень­шим из за­ду­ман­ных чисел, а наи­боль­шее число в на­бо­ре — это сумма всех за­ду­ман­ных чисел. По­это­му ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел не пре­вос­хо­дит целой части , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 мень­ше, чем сумма двух чисел 7, по­это­му они также яв­ля­ют­ся за­ду­ман­ны­ми. Зна­чит, сумма остав­ших­ся за­ду­ман­ных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10 = 16. Таким об­ра­зом, так как наи­мень­шее за­ду­ман­ное число равно 7, остав­ши­е­ся за­ду­ман­ные числа — это 8 и 8 или 16. Для за­ду­ман­ных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет за­пи­сан набор, дан­ный в усло­вии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 2; б) нет; в) 7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.

ОТВЕТЫ Вариант № 14

1. B 1. Каж­дый день во время кон­фе­рен­ции рас­хо­ду­ет­ся 70 па­ке­ти­ков чая. Кон­фе­рен­ция длит­ся 6 дней. Чай про­да­ет­ся в пач­ках по 50 па­ке­ти­ков. Сколь­ко пачек нужно ку­пить на все дни кон­фе­рен­ции?

Ре­ше­ние.

На 6 дней кон­фе­рен­ции рас­хо­ду­ет­ся 70 6 = 420 па­ке­ти­ков чая. Раз­де­лим 420 на 50:

.

Зна­чит, на все дни кон­фе­рен­ции нужно ку­пить 9 пачек чая.

Ответ: 9.

2. B 2. Тет­радь стоит 24 рубля. Сколь­ко руб­лей за­пла­тит по­ку­па­тель за 60 тет­ра­дей, если при по­куп­ке боль­ше 50 тет­ра­дей ма­га­зин де­ла­ет скид­ку 10% от сто­и­мо­сти всей по­куп­ки?

Ре­ше­ние.

За 60 тет­ра­дей по­ку­па­тель за­пла­тил бы 60 24 = 1440 руб­лей. Скид­ка со­ста­вит 10%, т. е. 144 рубля. Зна­чит, по­ку­па­тель за­пла­тит 1440 − 144 = 1296 руб­лей.

Ответ: 1296.

3. B 3. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена олова на мо­мент за­кры­тия бир­же­вых тор­гов во все ра­бо­чие дни с 3 по 18 сен­тяб­ря 2007 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена тонны олова в дол­ла­рах США. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, ка­ко­го числа цена олова на мо­мент за­кры­тия тор­гов была наи­боль­шей за дан­ный пе­ри­од.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шей цена была 10 сен­тяб­ря (см. ри­су­нок).

Ответ: 10.

Ме­бель­ный салон за­клю­ча­ет до­го­во­ры с про­из­во­ди­те­ля­ми ме­бе­ли. В до­го­во­рах ука­зы­ва­ет­ся, какой про­цент от суммы, вы­ру­чен­ной за про­да­жу ме­бе­ли, по­сту­па­ет в доход ме­бель­но­го са­ло­на.

Фирма-про­из­во­ди­тель	Про­цент от вы­руч­ки, по­сту­па­ю­щий в доход са­ло­на	При­ме­ча­ния
«Альфа»	6,5 %	Из­де­лия ценой до 20 000 руб.
«Альфа»	2,5 %	Из­де­лия ценой свыше 20 000 руб.
«Бета»	3 %	Все из­де­лия
«Омик­рон»	5 %	Все из­де­лия

В прейс­ку­ран­те при­ве­де­ны цены на че­ты­ре крес­ла-ка­чал­ки. Опре­де­ли­те, про­да­жа ка­ко­го крес­ла-ка­чал­ки наи­бо­лее вы­год­на для са­ло­на. В ответ за­пи­ши­те, сколь­ко руб­лей по­сту­пит в доход са­ло­на от про­да­жи этого крес­ла-ка­чал­ки.

Фирма-про­из­во­ди­тель	Из­де­лие	Цена
«Альфа»	Крес­ло-ка­чал­ка «Ода»	16 500 руб.
«Альфа»	Крес­ло-ка­чал­ка «Сага»	23 500 руб.
«Бета»	Крес­ло-ка­чал­ка «Поэма»	20 500 руб.
«Омик­рон»	Крес­ло-ка­чал­ка «Эле­гия»	18 000 руб.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

При про­да­же крес­ла-ка­чал­ки «Ода» по цене 16 500 руб. доход са­ло­на со­ста­вит 16 500 0,065 = 1 072,5 руб.

При про­да­же крес­ла-ка­чал­ки «Сага» по цене 23 500 руб. доход са­ло­на со­ста­вит 23 500 0,025 = 587,5 руб.

При про­да­же крес­ла-ка­чал­ки «Поэма» по цене 20 500 руб. доход са­ло­на со­ста­вит 20 500 0,03 = 615 руб.

При про­да­же крес­ла-ка­чал­ки «Эле­гия» по цене 18 000 руб. доход са­ло­на со­ста­вит 18 000 0,05 = 900 руб.

По­это­му для са­ло­на наи­бо­лее вы­год­на про­да­жа крес­ла-ка­чал­ки «Ода» фирмы «Альфа», доход от ко­то­ро­го со­ста­вит 1072,5 рубля.

5. B 5. На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­но два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 9. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди кру­гов от­но­сят­ся как квад­ра­ты их ра­ди­у­сов. По­сколь­ку ра­ди­ус боль­ше­го круга равен че­ты­рем тре­тьим ра­ди­у­са мень­ше­го круга, пло­щадь боль­ше­го круга со­став­ля­ет шест­на­дцать де­вя­тых пло­ща­ди мень­ше­го. Сле­до­ва­тель­но, она равна 16. Пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­дей кру­гов: 16 − 9 = 7.

Ответ: 7.

6. B 6. Ав­то­ма­ти­че­ская линия из­го­тав­ли­ва­ет ба­та­рей­ки. Ве­ро­ят­ность того, что го­то­вая ба­та­рей­ка не­ис­прав­на, равна 0,02. Перед упа­ков­кой каж­дая ба­та­рей­ка про­хо­дит си­сте­му кон­тро­ля. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма за­бра­ку­ет не­ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,99. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма по ошиб­ке за­бра­ку­ет ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,01. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная ба­та­рей­ка будет за­бра­ко­ва­на си­сте­мой кон­тро­ля.

Ре­ше­ние.

Си­ту­а­ция, при ко­то­рой ба­та­рей­ка будет за­бра­ко­ва­на, может сло­жить­ся в ре­зуль­та­те со­бы­тий: A = ба­та­рей­ка дей­стви­тель­но не­ис­прав­на и за­бра­ко­ва­на спра­вед­ли­во или В = ба­та­рей­ка ис­прав­на, но по ошиб­ке за­бра­ко­ва­на. Это не­сов­мест­ные со­бы­тия, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей эти со­бы­тий. Имеем:

Ответ: 0,0296.

7. B 7. Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те боль­ший из кор­ней.

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 5.

8. B 8. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник , счи­тая сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток рав­ны­ми 1.

Ре­ше­ние.

Ответ: 1.

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 38 м/с?

Ре­ше­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:

.

Чтобы найти, в какой мо­мент вре­ме­ни t ско­рость была равна 38 м/с, решим урав­не­ние:

с.

Сле­до­ва­тель­но, ско­рость точки была равна 38 м/с на че­тыр­на­дца­той се­кун­де дви­же­ния.

Ответ: 14.

10. B 10. Най­ди­те бо­ко­вое ребро пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы, если сто­ро­на ее ос­но­ва­ния равна 20, а пло­щадь по­верх­но­сти равна 1760.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы вы­ра­жа­ет­ся через сто­ро­ну ее ос­но­ва­ния и бо­ко­вое ребро как

Под­ста­вим зна­че­ния и :

,

от­ку­да на­хо­дим, что

Ответ: 12.

11. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: -2.

12. B 12. На верфи ин­же­не­ры про­ек­ти­ру­ют новый ап­па­рат для по­гру­же­ния на не­боль­шие глу­би­ны. Кон­струк­ция имеет ку­би­че­скую форму, а зна­чит, дей­ству­ю­щая на ап­па­рат вы­тал­ки­ва­ю­щая (ар­хи­ме­до­ва) сила, вы­ра­жа­е­мая в нью­то­нах, будет опре­де­лять­ся по фор­му­ле: , где – длина ребра куба в мет­рах, кг/м³ – плот­ность воды, а – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те Н/кг). Какой может быть мак­си­маль­ная длина ребра куба, чтобы обес­пе­чить его экс­плу­а­та­цию в усло­ви­ях, когда вы­тал­ки­ва­ю­щая сила при по­гру­же­нии будет не боль­ше, чем 78400 Н? Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях плот­но­сти воды и уско­ре­нии сво­бод­но­го па­де­ния:

м.

Ответ: 2.

13. B 13. Конус по­лу­ча­ет­ся при вра­ще­нии рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка во­круг ка­те­та, рав­но­го 6. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на .

Дата добавления: 2015-04-23