Моделирование экономики 6 страница

Запишем теперь системы (4.7.2) и (4.7.3) в матричных формах:

Здесь через обозначен m -мерный вектор-столбец с нулевыми элементами, - знак транспонирования.

Объединяя уравнения (4.7.4) и (4.7.5) в одно, получим основное матричное уравнение теории производства (фирмы):

Это есть система из уравнений с неизвестными показателями сравнительной статики. Разрешая ее относительно показателей сравнительной статики, перепишем:

Выполним матричное умножение в последнем уравнении и найдем решение. Запишем его в векторной форме:

где - обратная матрица Гессе.

Как и в теории потребления (см. §3.7), при помощи показателей сравнительной статики можно классифицировать типы затрат.

Определение 4.4. Затраты (ресурсы) вида k называются нормальными, если ; ценными (малоценными), если . Два вида затрат i и k называются взаимозаменяемыми (взаимодополняемыми), если

Неравенство означает возрастание затрат k -го вида с ростом их цены. Такие затраты исключены, так как напрямую уменьшают прибыль фирмы (см. целевые функции задач (4.5.1) - (4.5.3)). Поэтому кривая спроса на затраты всегда является убывающей и, в отличие от теории потребления, здесь нет товаров Гиффина.

Некоторые выводы относительно чувствительности затрат и выпуска по ценам, к которым можно прийти, анализируя соотношения (4.7.7)-(4.7.10), таковы:

1. повышение цены на выпускаемый продукт всегда приводит к увеличению объема выпуска;
2. повышение цены на выпускаемый продукт влечет повышение спроса на некоторые виды затрат;
3. в рамках закона об убывающей доходности нельзя обходиться исключительно малоценными затратами;
4. повышение платы за малоценные ресурсы ведет к увеличению объема выпуска;
5. повышение платы за некоторый вид затрат приводит к увеличению объема выпуска;
6. повышение цен на затраты приводит к сокращению спроса на них;
7. чувствительность объема затрат k -го вида на изменение цен затрат i -го вида такая же, что и чувствительность объема затрат i -го вида на изменение цен затрат k -го вида;
8. для взаимозаменяемых затрат повышение (понижение) цены одной из них влечет увеличение (уменьшение) спроса на другую;
9. для взаимодополняющих друг друга затрат повышение (понижение) цены одной из них влечет уменьшение (увеличение) спроса на другую.

Обоснуем кратко эти утверждения, часть которых подтверждает "очевидные истины".

Первый вывод следует из неравенства

которое немедленно вытекает из (4.7.7) с учетом отрицательной определенности обратной матрицы Гессе () и неотрицательности предельного продукта () в особой области. Данное неравенство подтверждает факт о том, что кривая предложения продукта является возрастающей.

Неравенство (4.7.11) с учетом (4.7.1) перепишется как

Такое соотношение возможно только в том случае, если для некоторых k будет иметь место неравенство

которое и является обоснованием второго вывода.

Сравнивая (4.7.8) и (4.7.9), можно заметить, что

Поэтому вывод 2. можно уточнить так: повышение цены выпускаемой продукции приводит к повышению спроса на затраты k -го вида всегда, если и только если увеличение платы за этот вид затрат приводит к сокращению объема выпуска. Действительно, с учетом (4.7.14) неравенство (4.7.13) влечет неравенство . В частности, если - малоценные затраты (т.е. ), то увеличение цены приведет к увеличению выпуска (т.е. ), о чем и утверждает вывод 4.

Обоснованность вывода 3. следует также из неравенства (4.7.14).

Из соотношений (4.7.11), (4.7.12) и (4.7.14) получаем:

Поэтому в особой области для некоторых видов затрат выполнено неравенство

Оно доказывает справедливость вывода 5.

Соотношение (4.7.10) указывает на симметричность матрицы , причем, как и правая часть этого уравнения, она отрицательно определена. Поэтому ее диагональные элементы отрицательны:

Отсюда следует вывод 6. Симметричность матрицы означает, что

Содержательный смысл этого равенства приведен в выводе 7.

Выводы 8. и 9. вытекают непосредственно из определений взаимозаменяемых и взаимодополняемых затрат.

15. Экономическое равновесие. Содержательный аспект.

Взаимодействие между складывающимися на рынке готовой продукции потребительским спросом и предложением фирм приводит к понятию равновесия. Равновесие в общепринятом в экономике смысле, как равенство спроса и предложения, было определено нами в §1.2 при обсуждении основных рыночных категорий. Это наиболее важная, но все же узкая (частная) трактовка понятия равновесия, предполагающая наличие "уравнивающих" друг друга факторов. О равновесии можно говорить общо, как о характеристике состояния любой системы, на которую воздействуют различные стороны (в частности, только одна сторона), каждая со своими интересами. В таком общем смысле равновесие - это то состояние системы, которое устраивает всех заинтересованных в ее состоянии сторон, за неимением ничего лучшего.

Приведем несколько конкретных понятий равновесия (см. также §1.7).

1. Равновесие в задачах принятия решения со многими участниками. Предположим, что интересы участников (лиц, принимающих решения) не противоположны, но и не совпадают. Однако степень достижения своей цели каждым из них зависит как от его собственных решений, так и от действий всех остальных участников. Под равновесным состоянием данной системы понимается такая ситуация (совокупность выбранных решений), когда отклонение от этой ситуации разве что ухудшает положение уклониста (при условии, что остальные участники придерживаются этой ситуации). Равновесная ситуация не обеспечивает участникам "наилучшее достижение цели", но, если такая ситуация существует, то, в условиях отсутствия обмена информациями участникам ничего другого не остается, как придерживаться ее (дабы хуже не было). Это так называемое равновесие по Нэшу. Оно широко применяется в теории игр - разделе Исследования операций, посвященном математическим моделям задач принятия решения в условиях конфликта и неопределенности.
2. Равновесные действия противоборствующих сторон. Такая ситуация предполагает наличие двух лиц, принимающих решения, с прямо противоположными интересами (например, две конкурирующие фирмы, выпускающие один и тот же товар, имеющие один и тот же рынок сбыта). Здесь каждая сторона принимает решение с учетом "закона подлости", т.е. выбирает лучшее из тех решений, которые "разрешены" ее противником. Равновесным является то состояние, одностороннее отклонение от которого невыгодно уклонисту. Такое равновесие называется седловой точкой и, если оно существует, то противники вынуждены ее придерживаться. Видно, что седловая точка является частным случаем равновесия по Нэшу.
3. Равновесие на основе угроз. Этот принцип применяется в задачах принятия решения с обменом информацией. Равновесным называется такое состояние системы, когда любое мотивированное предложение (угроза) одних участников, направленное на изменение данного состояния системы, встречает мотивированное возражение (контругрозу) со стороны других участников.
4. Равновесие в задаче потребителя. Как видно из материала главы III (см. §3.4), наилучшее состояние потребителя описывается точками, в которых бюджетные линии касаются соответствующих кривых безразличия. Эти точки характеризуют спрос, во-первых, как платежеспособную потребность в товарах, во-вторых, как набор товаров, максимизирующий полезность потребителя. Отклоняясь от них в своем выборе, потребитель нарушил бы одно из условий "оптимальности". Поэтому данные точки и отражают равновесное состояние потребителя. Аналитически это состояние характеризуется равенством между отношением цен товаров и предельной нормой замещения (см. (3.4.10)).
5. Равновесие в задаче фирмы. Условия равновесия в задаче фирмы концептуально схожи с соотношениями, формируемыми в теории спроса. Цель фирмы - максимизация прибыли (или минимизация издержек) при ограниченных ресурсах (при фиксированном уровне выпуска). Набор затрат ресурсов, удовлетворяющих этим условиям, и отражает равновесное состояние производства. Реализация других объемов затрат может привести лишь к нарушению условий "оптимальности". Аналитически состояние равновесия фирмы выражается равенством между отношением цен на соответствующие факторы производства и готовый продукт и предельной нормой замещения (см. § 4.6).

Характерным свойством "равновесий" в приведенных примерах является их устойчивость против отклонения. Присуще ли это свойство экономическому равновесию?

Чтобы обсудить этот вопрос, рассмотрим рынок одного товара, относительно которого будем говорить о совокупном спросе потребительского сектора и о совокупном предложении производственного сектора, пока (до §5.2) не уточняя эти категории и оставляя их понимание на интуитивном уровне.

Пусть, как и в главах III и IV, цена товара фиксирована. Это положение соответствует условиям совершенной конкуренции (см. рис. 1.3 в §1.2), когда отдельные участники экономики не влияют на цену товара. Пусть имеет место равновесие: , где - совокупный спрос, - совокупное предложение, p - цена товара, k - доход потребительского сектора, - цены затрат. Формально это равновесие может быть нарушено либо по "воле" рынка, который распоряжается ценой товара, либо по воле покупателя (управляющего спросом, например, посредством изменения величины дохода) или производителя (управляющего предложением, например, посредством изменения объемов затрат). В первом случае будем говорить о ценовых причинах нарушения равновесия, во втором - о неценовых причинах.

Рассмотрим сначала неценовые причины (вызванные влиянием сезонности, моды, изменением экономической политики и т.д.). Предположим, что при неизменном предложении потребитель "сознательно" отклоняется от равновесия, увеличивая или уменьшая спрос:

Если при фиксированном спросе от равновесия отклоняется производитель, то соответственно придем к одному из двух неравенств:

В этих соотношениях случаи a) и c) приводят к дефициту (см. рис. 1.2), т.е., в конечном счете, к повышению цены, что выгодно производителю и невыгодно потребителю. Следовательно, в случаях a) и c) неценовые причины вызывают изменение равновесной цены. Случаи b) и d) приводят к излишкам (см. рис. 1.2), т.е., в конечном счете, к снижению цены, что выгодно потребителю и невыгодно производителю. Следовательно, в случаях b) и d) неценовые причины также вызывают изменение равновесной цены.

Исходя из таких рассуждений, можно было бы заключить, что потребителю выгодно отклонение от равновесия в сторону снижения спроса, а производителю - в сторону снижения предложения. Однако для достоверности таких утверждений нужно ответить на следующие вопросы. На сколько нужно уменьшить спрос, чтобы соответствующее снижение цены действительно было выгодно для потребителя, т.е. чтобы сэкономленные средства с остатком компенсировали ущерб от уменьшения спроса? Каким должен быть этот остаток? Аналогичные вопросы возникают и для определения конкретной выгоды производителя. Очевидно, на эти вопросы можно ответить, применяя понятие предельной нормы замещения (см.§§3.3.–4.3.). При желании читатель может самостоятельно провести такой анализ.

Как мы видим, по отношению к экономическому равновесию однозначно нельзя утверждать о его устойчивости против отклонения. Но зато эти рассуждения помогают обнаружить устойчивость другого характера - тенденцию экономического равновесия к устойчивости против колебания цены, какой бы причиной оно ни было вызвано. Поясним это положение.

Будем исходить из того факта, что экономическое равновесие может быть нарушено как по ценовым, так и по неценовым причинам. Пусть на уровне цен имеет место равновесие (точки здесь заменяют прочие, в частности, неценовые, переменные). Допустим, что по какой-то неценовой причине повысился спрос до уровня . Как видно из рис. 5.1, спрос соответствует цене , так что

т.е. спрос стал больше предложения. Цене соответствуют две точки: и . Естественно поставить вопрос: может ли цена быть равновесной, иначе, может ли одна из этих двух точек быть равновесным состоянием? Обратимся к точке (относительно точки рассуждения зеркально аналогичны).

Для того чтобы точка оказалась равновесной, кривая спроса должна сместиться и пройти через эту точку. Когда это возможно? Формально, тогда, когда выполняется равенство . Содержательно, бюджет потребителя должен уменьшиться ровно на величину , и тогда бюджетная линия в пространстве товаров параллельно сместится от точки до точки . Такое изменение ситуации приведет к уменьшению дохода производителя (), и оно вызвано двумя причинами: снижением цены () и выпуска (). Что может противопоставить этому производитель? При данных неизменных технологических условиях - ничего, так как нежелание снизить цену своего товара или объема выпуска приведет к еще худшему результату. Таким образом, неценовые причины могут привести к переходу в новое состояние равновесия, и это свидетельствует о неустойчивости равновесия против неценовых возмущений в экономике.

Обсудим теперь ценовую причину. Пусть цена товара упала до величины . Как видно из рис. 5.1, при этой цене спрос превышает предложение (), что влечет повышение цены товара. Но до какого уровня? Если предложение подтягивается до нового уровня спроса, т.е. до величины , то, согласно кривой предложения, цена должна повышаться до величины . Но такой цене соответствует спрос . Продолжая эти рассуждения, можно заметить, что цена последовательно приближается к равновесному значению , а спрос и предложение сходятся к общему (равновесному) значению . Здесь описана идея процедуры рыночного регулирования цены "невидимой рукой Адама Смита". По расположению вспомогательных линий на графике эту процедуру называют паутинообразной моделью регулирования цены товара. Аналогичную картину можно получить при исходном предположении о повышении цены над .

В результате мы можем сделать вывод о том, что экономическое равновесие устойчиво против ценовых возмущений. Более подробное обсуждение устойчивости как сходимости процедуры регулирования к равновесной цене отложим до §5.5.

Паутинообразная модель описывает приспособление цены во времени к вариациям спроса и предложения. Опишем ее детально на примере линейных функций.

Пример 5.1. Для рынка одного товара вывести формулу паутинообразного регулирования цены при условии, что функции спроса и предложения линейно зависят от цены, и предложение реагирует на изменение спроса с временным лагом (с опозданием на некоторый промежуток времени).

Линейность функций спроса и предложения означает представимость их в виде:

Пусть a > c, т.е. наклон кривой спроса больше, чем наклон кривой предложения. Для отражения последовательного изменения значений, величины , и p снабдим индексом времени t: . Моменты изменения их значений (моменты регулирования) обозначим через Для простоты положим , т.е. Пусть в начальный момент времени t=0 спрос соответствует уровню цены (см. рис. 5.2) и превышает предложение, т.е. . Предложение подтягивается к уровню к моменту t=1 и соответствует уровню цены . Но этой цене в момент t=1 соответствует другой уровень спроса , который вынуждает цену уменьшиться до уровня . Далее предложение снижается до уровня к моменту t=2 . И т.д. Продолжая эти построения, мы приходим к общей закономерности: или

Отсюда получаем искомую рекуррентную формулу приспособления цены к уровням спроса и предложения:

Зная "начальную" цену , по формуле (5.1.1) можно вычислить цену товара на любом шаге приближения к равновесному значению . Сходимость этой процедуры () для любых будет изучена в §5.5.

Читателю предлагается самостоятельно анализировать случай в примере 5.1.

Заметим, когда a < c, т.е. наклон кривой спроса меньше, чем наклон кривой предложения, процедура расходится.

16. Рыночный спрос и рыночное предложение. Условия совершенной конкуренции.

Так как основными понятиями любого рынка являются товары, их цены, участники, их спрос и предложение, то эти элементы и будут подвергаться формализации.

Участниками рынка могут быть любые заинтересованные в купле-продаже товаров стороны: индивидуальные потребители, отдельные фирмы, совокупность потребителей некоторого региона, совокупность предприятий данной отрасли, финансовые организации, концерны, целые страны. Одним словом, классификация участников рынка зависит от характера решаемой задачи.

В классических моделях в качестве участников рынка рассматриваются производители товаров (фирмы) и их потребители. Первые выходят на рынок для реализации своей продукции, а вторые - для приобретения необходимых им товаров потребления. Поэтому для классификации участников рынка больше подходят названия продавцов и покупателей. Тем более, что потребители могут выступать в роли продавцов принадлежащих им первичных факторов (труд, земельные участки и др.); точно так же производители выступают в роли покупателей производственных ресурсов. Таким образом, любой участник рынка выступает одновременно как продавец и покупатель. Мы можем сказать, что относительно любого товара на рынке существует три группы участников: те, кто продает этот товар, те, кто покупает его, и те, кому этот товар безразличен. Если продавцов (покупателей) данного товара много, то между ними возникает конкуренция. Поэтому рынки можно классифицировать по характеру конкуренции (см. рис. 1.3).

В обычном понимании рынок - это то место, где продается и покупается большое разнообразие товаров. В случае необходимости рынок можно сегментировать по видам товаров и при соответствующих ограничениях (например, с учетом имеющихся связей с рынками других товаров) изучить рынок интересующего товара отдельно. Будем предполагать, что относительно каждого товара имеется большое число продавцов и покупателей. В связи с этим возникает необходимость уточнения ранее введенных понятий спроса и предложения, а также условий конкуренции.

Прежде всего, нам надо выяснить и формализовать понятия совокупного (рыночного) спроса и совокупного (рыночного) предложения относительно имеющихся на рынке товаров. Проблема агрегирования спроса отдельных индивидов и предложения отдельных фирм является довольно тонкой материей. Это один из тех вопросов, относительно которых строгая методология математики расходится с более близкой к практике экономической теорией. С точки зрения первой эту проблему нельзя считать вполне решенной - не существует общих способов агрегирования, удовлетворяющих всем основополагающим теоретическим постулатам. Экономическая же методология исходит из предпосылки о реальной возможности формирования рыночного спроса и рыночного предложения. Чтобы не отвлекать внимание читателя от основного материала, мы постараемся обосновать это обстоятельство, не вдаваясь в сугубо теоретические подробности. Относительно формализации совокупного спроса на рынке, на первый взгляд, имеется два возможных подхода. Во-первых, конструировать функцию "коллективной" полезности всех потребителей, желающих приобрести данные товары, и определить рыночный спрос как решение одной общей задачи типа (3.4.1)-(3.4.2). Во-вторых, вектор рыночного спроса на товары формировать, исходя из решений индивидуальных задач (3.4.1)-(3.4.2) потребителей. В первом случае коллективную функцию полезности можно попытаться построить одним из двух способов: либо на основе отношения "коллективного" предпочтения, либо на основе индивидуальных функций полезности потребителей.

Под предъявителем рыночного спроса мы понимаем совокупного потребителя, как одного из двух участников рынка. Но совокупный потребитель (как и совокупный производитель) не является единой личностью, которая выражает свои мысли одними устами. Реальная действительность сводится к индивидуальным предпочтениям, и только исходя из них можно определить коллективное предпочтение. Оно должно удовлетворять (как и в случае индивидуального предпочтения) системе аксиом и быть непрерывным. Только тогда на основе теоремы 3.1 можно утверждать о существовании функции полезности, адекватно отражающей коллективное предпочтение.

Обозначим через S множество потребителей и в пространстве товаров введем понятие коллективного предпочтения () с помощью следующих аксиом (некоторые из них соответствуют аксиомам индивидуального предпочтения (см. §3.1)):
A₁) полнота: для любых либо , либо , либо ( - отношение безразличия);
A₂) транзитивность: для любых , таких, что , , справедливо ;
A₃) единогласие: если для всех , то ;
A₄) независимость: для любых из , , , следует ( - любое отношение).

Дата добавления: 2015-04-24