Профильный уровень

1. В лет­нем ла­ге­ре на каж­до­го участ­ни­ка по­ла­га­ет­ся 30 г са­ха­ра в день. В ла­ге­ре 103 че­ло­ве­ка. Сколь­ко ки­ло­грам­мо­вых упа­ко­вок са­ха­ра по­на­до­бит­ся на весь ла­герь на 6 дней?

2. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти во все дни с 10 по 29 но­яб­ря 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся дни ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта за дан­ный день. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, ка­ко­го числа ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти было наи­мень­шим за ука­зан­ный пе­ри­од.

3. Кли­ент хочет арен­до­вать ав­то­мо­биль на трое суток для по­езд­ки про­тя­жен­но­стью 600 км. В таб­ли­це при­ве­де­ны ха­рак­те­ри­сти­ки трех ав­то­мо­би­лей и сто­и­мость их арен­ды. По­ми­мо арен­ды кли­ент обя­зан опла­тить топ­ли­во для ав­то­мо­би­ля на всю по­езд­ку. Какую сумму в руб­лях за­пла­тит кли­ент за арен­ду и топ­ли­во, если вы­бе­рет самый де­ше­вый ва­ри­ант?

Ав­то­мо­биль	Топ­ли­во	Рас­ход топ­ли­ва (л на 100 км)	Аренд­ная плата (руб. за 1 сутки)
А	Ди­зель­ное
Б	Бен­зин
В	Газ

Цена ди­зель­но­го топ­ли­ва — 21 рубль за литр, бен­зи­на — 23 рубля за литр, газа — 16 руб­лей за литр.

4. Точки O (0; 0), A (10; 8), B (8; 2), C (2; 6) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка. Най­ди­те абс­цис­су точки P пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.

5. На чем­пи­о­на­те по прыж­кам в воду вы­сту­па­ют 25 спортс­ме­нов, среди них 8 пры­гу­нов из Рос­сии и 9 пры­гу­нов из Па­раг­вая. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ше­стым будет вы­сту­пать пры­гун из Па­раг­вая.

6. Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

7. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, , . Най­ди­те .

8. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−8; 9). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции при­над­ле­жа­щих от­рез­ку [−4; 8].

9. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

11. Ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка за­ви­сит от ча­сто­ты вы­нуж­да­ю­щей силы, опре­де­ля­е­мой по фор­му­ле , где – ча­сто­та вы­нуж­да­ю­щей силы (в ), – по­сто­ян­ный па­ра­метр, – ре­зо­нанс­ная ча­сто­та. Най­ди­те мак­си­маль­ную ча­сто­ту , мень­шую ре­зо­нанс­ной, для ко­то­рой ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний пре­вос­хо­дит ве­ли­чи­ну не более чем на . Ответ вы­ра­зи­те в .

12. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем куба, если все его рёбра уве­ли­чить в 5 раз?

13. Сме­шав 41-про­цент­ный и 63-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 49-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 54-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 41-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

14. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

15. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

16. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де , из­вест­ны , . Най­ди­те угол между пря­мой и плос­ко­стью .

17. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

18. Бо­ко­вые сто­ро­ны и тра­пе­ции равны 8 и 17 со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей, равен 7,5, сред­няя линия тра­пе­ции равна 17,5. Пря­мые и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник .

19. 31 де­каб­ря 2013 года Сер­гей взял в банке 9 930 000 руб­лей в кре­дит под 10% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем Сер­гей пе­ре­во­дит в банк опре­делённую сумму еже­год­но­го пла­те­жа. Какой долж­на быть сумма еже­год­но­го пла­те­жа, чтобы Сер­гей вы­пла­тил долг тремя рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми?

20. Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

21. Каж­дый из груп­пы уча­щих­ся схо­дил в кино или в театр, при этом воз­мож­но, что кто-то из них мог схо­дить и в кино, и в театр. Из­вест­но, что в те­ат­ре маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших театр, а в кино маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших кино.

а) Могло ли быть в груп­пе 10 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

б) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков могло быть в груп­пе, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

в) Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа уча­щих­ся в груп­пе без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а) и б)?

22. Дано урав­не­ние

а) Ре­ши­те урав­не­ние.

б) Най­ди­те корни на про­ме­жут­ке

23. В пра­виль­ной приз­ме со сто­ро­ной ос­но­ва­ния, рав­ной и вы­со­той, рав­ной 2, про­ве­де­но се­че­ние через пря­мую ко­то­рое делит приз­му на 2 мно­го­гран­ни­ка рав­ных объ­е­мов. Найти пло­щадь се­че­ния.

24. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

25. Банк под опре­де­лен­ный про­цент при­нял не­ко­то­рую сумму. Через год чет­верть на­коп­лен­ной суммы была снята со счета. Банк уве­ли­чил про­цент го­до­вых на 40%. К концу сле­ду­ю­ще­го года на­коп­лен­ная сумма в 1,44 раза пре­вы­си­ла пер­во­на­чаль­ный вклад. Каков про­цент новых го­до­вых?

26. Гео­ло­ги взяли в экс­пе­ди­цию 80 банок кон­сер­вов, веса ко­то­рых все из­вест­ны и раз­лич­ны (име­ет­ся спи­сок). Через не­ко­то­рое время над­пи­си на бан­ках стали не­чи­та­е­мы­ми, и толь­ко зав­хоз знает где что. Он может все это до­ка­зать (т. е. обос­но­вать, что в какой банке на­хо­дит­ся), не вскры­вая кон­сер­вов и поль­зу­ясь толь­ко со­хра­нив­шим­ся спис­ком и двух­ча­шеч­ны­ми ве­са­ми со стрел­кой, по­ка­зы­ва­ю­щей раз­ни­цу весов на чаш­ках. До­ка­жи­те, что ему для этой цели

а) до­ста­точ­но че­ты­рех взве­ши­ва­ний;

б) не­до­ста­точ­но трех взве­ши­ва­ний.

Ком­мен­та­рий. От­ме­тим еще раз, что зав­хоз дол­жен обос­но­вать, что в какой банке на­хо­дит­ся для всех 80 банок.

Дата добавления: 2015-05-08