Фильтры нижних и верхних частот

В качестве фильтров нижних и верхних частот используется как нерекурсивные, так и рекурсивные цифровые фильтры (ЦФ), которые соответственно определяются соотношениями:

где —отсчеты входного и выходного сигналов фильтра соответственно (i=1, 2, 3,...); -целые неотрицательные числа, определяющие пределы суммирования; —коэффициенты фильтра.

Нерекурсивные ЦФ более сложны в вычислительном отношении, чем рекурсивные с аналогичными частотными характеристикам. Однако для рекурсивных фильтров труднее обеспечить линейность фазовой характеристики (т. е. постоянство временной задержки для составляющих всех частот), что очень важно при анализе сигнала, так как нелинейность фазовой характеристики может приводить к его изменению. Кроме того, для рекурсивных фильтров при реализации их микропроцессорами невысокой разрядности (8—16 бит) не всегда удается обеспечить устойчивость и избежать накопления ошибок, в то время как для нерекурсивных ЦФ этой проблемы не существует. В силу перечисленных причин более широкое распространение в алгоритмах оперативного анализа ритма сердца находят нерекурсивные фильтры, хотя это не исключает возможности использования в ряде случаев и рекурсивных ЦФ как в качестве ФВЧ, так и в качестве ФНЧ.

Используемые в КМ нерекурсивные ЦФ имеют обычно предельно упрощенный вид импульсных характеристик, что вызвано необходимостью снижения их вычислительной сложности. В частности, во многих разработках используются ФНЧ с прямоугольной или треугольной формой импульсных характеристик, которые соответственно описываются следующим образом:

где ; k — целое положительное число. Приведенные фильтры отличаются простотой реализации, но их АЧХ имеют значительные пульсации в области верхних частот (выше частоты среза), достигающие 20— 25 % от максимального значения коэффициента передачи, что означает недостаточно хорошее подавление этими фильтрами высокочастотных помех. Предлагаются и более сложные в вычислительном отношении ФНЧ, которые способны обеспечить лучшее качество фильтрации.

Линейность фазовых характеристик нерекурсивных ЦФ обеспечивается при соблюдении одного из четырех условий симметрии импульсной характеристики:

симметричности при нечетном числе коэффициентов;

симметричности при четном числе коэффициентов;

антисимметричности при нечетном числе коэффициентов;

антисимметричности при четном числе коэффициентов.

Из перечисленных видов фильтров только первые два могут иметь частотную характеристику ФНЧ, причем фильтр с четным числом коэффициентов вносит задержку, кратную половине интервала дискретизации, что может создавать неудобства для дальнейшего анализа сигнала. Поэтому наиболее подходящими следует считать нерекурсивный ЦФ с симметричной импульсной характеристикой при нечетном числе коэффициентов, которые определяются соотношением:

-

где — отсчеты входного и выходного сигналов; N — число коэффициентов фильтров (длина импульсной характеристики);

— коэффициенты фильтра. Амплитудно-частотная характеристика для такого фильтра может быть найдена по формуле:

где - частота дискретизации сигнала.

Идеальный фильтр нижних частот должен иметь АЧХ типа той, которая показана на рис. 6,а. Все составляющие входного сигнала с частотами ниже частоты среза F_c такой фильтр бес­препятственно пропускает, а остальные — полностью устраняет. Однако практическая реализация идеального фильтра невозмож­на, так как он должен был бы иметь бесконечное число коэффициентов. Вид асимптотической АЧХ фильтра, реализуемого на практике, приведен на рис. 6,6. Различают три диапазона частот:

-полоса пропускания;

- переходная полоса;

— полоса задержки.

Здесь и - соответственно нижняя и верхняя границы пере­ходной полосы. Амплитудно-частотную характеристику имеет смысл рассматривать в диапазоне частот от 0 Гц до половины частоты дискретизации , так как на интервале она симметрично продолжается, а на более высоких частотах пов­торяется с периодом В данном случае ширина переходной полосы . Казалось бы, чем уже переходная полоса, тем частотная характери­стика ближе к идеальной и, следовательно, лучше фильтр. Однако это утверждение нельзя считать очевидным. У фильтров с более узкой переходной полосой сильнее проявляются пульсации, вызываемые высокочастотными компонентами входного сигнала, которые могут, например,, привести к возникновению ложных зубцов у желудочковых комплексов ЭКГ. Кроме того, такие фильтры имеют и более длинную:импульсную характеристику, что затрудняет их реализацию в устройствах оперативной обработки сигнала.

Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика идеального (а) и приближенного к реальному (б) ФНЧ

Например, для оперативного анализа ритма сердца в микропроцессорных КМ на­иболее подходящими оказываются ФНЧ с =30 Гц и с = 20— 25 Гц при =250 Гц. Этим условиям удовлетворяет ФНЧ, задан­ный уравнением:

Его импульсная и амплитудно-частотная характеристики приведены на рис. 7. Как можно видеть, АЧХ этого фильтра близка к желаемой, а простота реализации обеспечивается тем, что его коэффициенты представляют собой правильные дроби со знамена­телем, равным 32 = 2⁵, а их сумма равна единице.

Реализация нерекурсивных ФВЧ оказывается значительно сложнее, чем реализация ФНЧ, так как требуемые для фильтрации ЭКС цифровые фильтры верхних частот могут иметь до 50 и бо­лее коэффициентов. Поэтому на практике удается использовать только сравнительно узкий класс нерекурсивных ФВЧ, которые могут быть сделаны простыми для вычисления. Наиболее часто для этой цели используют упоминавшиеся выше ФНЧ с прямо­угольной или треугольной импульсной характеристикой, преобра­зованные в ФВЧ. Если ФНЧ задан выражением

Рис. 7. Амплитудно-частотная (а) и импульсная (б) характеристики ФНЧ

то соотношение вида

соответствует фильтру верхних частот с амплитудно-частотной характеристикой

где — амплитудно-частотная характеристика взятого за основу ФНЧ. Здесь необходимо оговориться, что это справедливо лишь при выполнении условия:

чего на практике всегда можно достичь соответствующим масшта­бированием коэффициентов. На рис. 8 проиллюстрирован принцип построения ФВЧ на основе известного ФНЧ и показана взаи­мосвязь между их импульсными и амплитудно-частотными харак­теристиками.

Например, с точки зрения решения задачи обнаружения QRS-комплекса ЭКС на фоне помех наилучшие результаты дает применение ФВЧ с = = 5 Гц и =3—4 Гц. В качестве конкретного фильтра, удовлетво­ряющего указанным условиям и пригодного для реализации в микропроцессорных КМ, может быть предложен ФВЧ; коэффициенты Cj которого (при j = -22, -21,..., 0,..., 21, 22) имеют следу­ющие значения:

Этот ЦФ получен подбором коэффициентов на основе фильтра с треугольной импульсной характеристикой. Нетрудно показать, что

Рис. 8. Построение ФВЧ на основе известного ФНЧ

V

данный ФВЧ может быть преобразован в рекуррентную форму

что существенно упрощает его программную реализацию. Ам­плитудно-частотная характеристика этого фильтра показана на рис. 9.

Рис. 9. Амплитудно-частотная ха

­рактеристика ФВЧ

Рис. 10. Амплитудно-частотная ха­рактеристика результирующего поло­сового фильтра

Последовательная фильтрация сигнала с помощью ФНЧ и ФВЧ, АЧХ которых приведены на рис. 7 и 9, эквивалентна использованию полосового фильтра, частотная характеристика которого представлена на рис. 10, а на рис. 11 показаны примеры обработки фрагментов ЭКС с применением этих фильтров.

Еще одним примером применения нерекурсивных ФВЧ может служить про­цедура оценки зашумленности ЭКС по относительному содержанию в сигнале высокочастотных составляющих. Для этой цели часто используется вторая раз­ность отсчетов сигнала, представляющая собой цифровой фильтр, задаваемый выражением

Рис. 11. Примеры предварительной обработки фрагментов ЭКС с помощью цифровой фильтрации: а — исходный ЭКС; б - ЭКС после ФНЧ; в - ЭКС после ФВЧ

Частотная характеристика этого фильтра для частоты дискретизации, равной. 250 Гц, показана на рис. 12. Как видно.из рисунка, фильтр усиливает составляющие сигнала, спектр которых лежит в полосе частот приблизительно от 40 Гц и выше, т. е. ту часть ЭКС, которая почти не содержит полезной для оперативного анализа информации.

Для оценки уровня зашумленности сигнала обычно используют скользящее •среднее модулей отсчетов сигналя, прошедшего через ЦФ второй разности от­счетов:

где z_i — i-й отсчет скользящего среднего, а N — размер окна усреднения (как правило, N лежит в пределах от 10до 30). Уровень помех считают недопустимо высоким, если хотя бы для одного i, относящегося к анализируемому фрагменту сигнала, значение z_i оказывается выше определенного порога. Высота этого порога зависит от задач и условий обра­ботки и должна подбираться экспе­риментально для каждого конкретного ал­горитма.

Рис. 12. Амплитудно-частотная характе­ристика фильтра для оценки зашумленности сигнала

Дата добавления: 2015-05-26