Система уравнений Колмогорова

,.

Замечание. Из стационарности СП в узком смысле следует стационарность СП в широком смысле.

Определение. СП называется марковским, если условная функция плотности вероятности имеет вид

Определение. Скалярный СП называется пуассоновским, если: 1) ;

2) СВ распределены независимо для любых , ;

3) СВ распределены по закону Пуассона с параметром ,

т.е. для

Определение. Марковский скалярный СП , называется марковским процессом с дискретными состояниями (МСП ДС)), если для произвольного фиксированного момента времени случайная величина (СВ) является дискретной.

Пусть - некоторая физическая система с дискретными состояниями , которая случайным образом время от времени скачком (мгновенно) переходит из состояния в состояние . Если этот процесс является марковским, то имеем МСП ДС. При анализе МСП ДС удобно пользоваться геометрической схемой – размеченным графом состояний, который изображает возможные состояния системы и возможные переходы этой системы из одного состояния в другие, указываемые стрелками и дугами. Соединяющие дуги часто наделяют весами.

Обозначим , , , где  событие, состоящее в том, что в момент времени система находится в состоянии .

Определение. Под плотностью вероятности перехода этой системы из состояния в состояние в момент времени понимается число , где - вероятность того, что система , находившаяся в момент времени в состоянии за время перейдет в состояние , т.е. , тогда , .

Определение. Скалярный марковский СП с дискретными состояниями (МСП ДС), описывающий поведение системы , называется однородным, если для любых , . В противном случае процесс называется неоднородным.

Для марковского процесса с дискретными состояниями для определения вероятностей состояний получена система ДУ, называемых уравнениями Колмогорова:

, , .

◄ По формуле полной вероятности = =

= =

= = ,

, при .

После осуществления предельного перехода при получаем требуемое. ►

Дата добавления: 2015-06-25