Рекурсивный фильтр Гаусса

Существует также ещё один метод фильтрации, основанный на аппроксимации преобразования Фурье гауссового ядра, который широко изложен в [1]. Покажем основную идею данного метода. Для этого представим экспоненту в виде ряда Тэйлора, тогда ядро запишется в виде:

,

где

= 2.490895, = 1.466003, = -0.024393, = 0.178257.

Далее мы будем аппроксимировать не само гауссово ядро, а его преобразование Фурье, которое хорошо известно:

.

Тогда, подставляя вместо σ² - q, мы получим выражение вида:

.

И при s = jw:

.

Тогда выражение (выше), может быть разложено на множители = * :

.

И

.

После этого для представления G (s) в H(z), моно было бы воспользоваться стандартным билинейным преобразованием:

.

Но это бы привело к тому что в передаточной функции появились бы нули, которых нам лучше избежать. Поэтому мы применим технику, описанную в [6] и представим для и для . Принимая T = 1, получим:

, и

.

Оба выражения могут быть переписаны как стандартные полиномы степени z и :

,

, где

.

Тогда реализация [1] советует следующую фильтрующую стратегию. Входные данные сначала фильтруются в прямом направлении согласно выражению для . Тогда результат этой фильтрации, назовём его w[n], фильтруется в обратном направлении согласно выражению для , и разностные выражения принимают следующий вид:

· Прямое:

,

· обратное:

.

Оба выражения используют нормализационную константу, которая имеет вид:

.

Стандартные рекомендации по выбору константы q представляют собой:

.

Итого сам фильтр сначала применяется по вертикали, а затем по горизонтали. Средняя погрешность не превышает , что составляет не более 0.68% согласно [1].

Дата добавления: 2015-07-02