Свойства сходящихся последовательностей

1. Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство: допустим обратное, например что и .

означает, что , что , а

означает, что , что .

Пусть и . Тогда оба неравенства выполняются одновременно: , т.е. пришли к противоречию.

2. Любая сходящаяся последовательность ограничена, т.е. если последовательность имеет предел, то данная последовательность обязательно должна быть ограниченной.

Доказательство: пусть имеем последовательность , имеющую предел , т.е. . Доказать, что она ограниченна. Рассмотрим бесконечно малую последовательность . Пусть , т.к. ( – ограниченная последовательность). Пусть , тогда . Следовательность, последовательность – ограниченная.

Ограниченность последовательнсти – необходимое но недостаточное условие для сходимости. означает, что , что выполняется неравенство: . Если , что для , что , тогда не стремится к числу .

Например: последовательность огрниченная, но не имеет предела (доказательство привести самостоятельно).

Дата добавления: 2015-07-02